2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题（解析版）

2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据补集的运算法则，求出集合A的补集，再求交集即可得解.

【详解】

因为，，

所以.

故选：D

【点睛】

此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.

2．若复数的虚部小于0，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.

【详解】

由，得，因为，所以.

又z的虚部小于0，所以，.

故选：C

【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.

3．“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定.

【详解】

因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：B.

【点睛】

此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于弄清概念，准确识别三亚与海南省两者之间的关系.

4．已知函数在上单调递增，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式.

【详解】

因为在上单调递增，所以，即.

故选：C

【点睛】

此题考查根据二次函数的单调性求参数的取值范围，关键在于熟练掌握二次函数的基本性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立.

5．的展开式的中间项为（    ）

A．-40 B． C．40 D．

【答案】B

【解析】根据二项式定义可知一共有项，通项为可知第项为中间项，计算可得.

【详解】

解：的展开式的通项为

则中间项为.

故选：B.

【点睛】

本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.

6．现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解.

【详解】

将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下：

故所求概率.

故选：A

【点睛】

此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数，利用树状图解决问题通俗易懂，需要注意此题是五本相同的书.

7．如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设出等腰直角三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.

【详解】

设，则，

，，

所以，所以.

因为，

所以.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.

8．已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出函数图象，有2个实根，故方程有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围.

【详解】

由，得或，

作出的图象，如图所示，由图可知，方程有2个实根，

故方程有3个实根，故m的取值范围为.

故选：A

【点睛】

此题考查根据方程的根的个数求参数的取值范围，关键在于将问题等价转化，作出函数图象，数形结合求解.

二、多选题

9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（    ）

A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了

B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势

C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例

D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率

【答案】ABC

【解析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.

【详解】

1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；

由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；

2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；

2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.

故选：ABC

【点睛】

此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为π

B．曲线关于对称

C．的最大值为

D．曲线关于对称

【答案】ACD

【解析】根据三角恒等变换化简可得，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.

【详解】

，

则，的最大值为，

曲线关于对称，

，曲线不关于对称.

故选：ACD

【点睛】

此题考查三角函数的性质，根据三角恒等变换求函数解析式，根据性质得最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.

11．已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ）

A．C的焦距为 B．C的离心率为

C．圆D在C的内部 D．的最小值为

【答案】BC

【解析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系.

【详解】

依题意可得，则C的焦距为，.

设，

则，

所以圆D在C的内部，且的最小值为.

故选：BC.

【点睛】

此题考查椭圆的基本量的计算，求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围，利用函数性质求解最值.

12．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则（    ）

A． B．直线与直线共面

C． D．直线与直线异面

【答案】BC

【解析】连接，，，DF，易得，在三角形中，由余弦定理求解，即可得到.

【详解】

连接EF，，，DF，，根据长方体性质可得，

所以直线与直线共面.

根据长方体性质，所以异面直线与所成角为.

设，则，

则，，，

由余弦定理，得.

故选：BC

【点睛】

此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，利用余弦定理求异面直线夹角，

三、填空题

13．若，则的最小值为__________.

【答案】12

【解析】由，得，利用基本不等式即可得解.

【详解】

因为，所以，所以.

等号成立的条件为，即时取得最小值.

故答案为：12

【点睛】

此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.

14．已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则______.

【答案】6

【解析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴，的长，再根据，，成等比数列，求出的值，最后根据双曲线的定义求出的值.

【详解】

解：

，，

，，成等比数列

，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，，，则四面体ABCD的体积为____，球O的表面积为____

【答案】1       

【解析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.

【详解】

因为AB，AC，AD两两垂直，且，，，

所以四面体ABCD的体积，

该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，

直径为该长方体的体对角线长

球O的表面积为.

故答案为：①1，②

【点睛】

此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.

16．若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为____.

【答案】

【解析】将题目等价转化为当时导函数有两个零点，分离参数求解.

【详解】

由题意可得，，

即在上有两个不同的解.

设，.

当时，；当时，.

函数在单调递减，单调递增，

所以，当时，，

由洛必达法则

故.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据导数的几何意义解决切线问题，转化为函数零点问题，常用分离参数讨论函数单调性解决问题.

17．在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求出，由正弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.

若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边，最后由面积公式求出三角形的面积.

若选③，由余弦定理求出边，由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出三角形的面积.

【详解】

解：选①

∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

【点睛】

本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.

四、解答题

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，

（1）证明：平面PCD．

（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）通过证明，即可证明线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.

【详解】

（1）证明：因为E为AB的中点，，

所以，

所以，从而.

又，，

所以底面ABCD，所以.

因为四边形ABCD是正方形，所以.

又，所以平面PCD.

（2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

所以，，.

设平面PCE的法向量为，

则，即，

令，得.，

故DA与平面PCE所成角的正弦值为.

【点睛】

此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.

19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：，.

附表：

【答案】(1)见解析，有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75

【解析】（1）完善列联表，计算得到答案.

（2）先计算，分别计算，，，，得到分布列，计算得到答案.

【详解】

（1）列联表如下：

，

因此有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）可能取值为65，70，75，80，且.

，，

，，

所以的分布列为

.

【点睛】

本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.

20．在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.

（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.

【详解】

（1）∵，∴，，则的公差为

故的通项公式为.

（2），①

，②

①②得.

又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，

故.

，

，

，

即，

即.

【点睛】

本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到是解题的关键.

21．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称

【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.

（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

【详解】

解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，

，的方程为.

由得.

设，，则，

∴，，

∴抛物线C的方程为.

（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，

①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），

由得，

，

，.

∵直线PM，PN关于x轴对称，

∴，，.

∴，

∴时，此时.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.

22．已知函数，函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

（3）证明：当时，.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.

（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.

（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.

【详解】

（1）解：的定义域为，，

当，时，，则在上单调递增；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；

当，时，，则在上单调递减；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：设函数，则.

因为，所以，，

则，从而在上单调递减，

所以，即.

（3）证明：当时，.

由（1）知，，所以，

即.

当时，，，

则，

即，

又，

所以，

即.

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.