2020届河北省石家庄市第二中学（南校区）高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题（解析版）

2020届河北省石家庄市第二中学（南校区）高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题


一、单选题
1．已知复数则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】将 整理成 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点.
【详解】
复数,则复数在复平面内对应的点在第一象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义.
2．设集合,则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别解出,即可判断两个集合的关系.
【详解】
解:集合或,或

故选:B.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素.
3．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】判断 与1的大小关系,由可判断 的大小关系,从而可选出正确答案.
【详解】
解:由已知可得,,
, .即.
故选:B.
【点睛】
本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小.
4．若满足约束条件则的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】D
【解析】画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
【详解】
解:由约束条件作出可行域如图,

化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知
当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.
故选:D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
5．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位：分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为（ ）立方分米.

A．40 B． C．30 D．
【答案】A
【解析】由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积.
【详解】
由三视图还原,原几何体如图,

要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为4,宽的最小值为4,高的最小值为，
则长方体木料的最小体积为立方分米.
故选:A.
【点睛】
本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体积的理解.难点则为由三视图还原出几何体.
6．不透明的袋中装有8个大小质地相同的小球，其中红色的小球6个，白色的小球2个，从袋中任取2个小球，则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出基本事件的总数,再求出满足要求的基本事件的个数,则由古典概型可求概率.
【详解】
解:由题意知,本题中基本事件总数,
取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球包含的基本事件个数:
.
则取出的2个小球中有1个是白色小球另1个是红色小球的概率为.
故选:B.
【点睛】
本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度.
7．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】由抛物线的标准方程,可求出焦点.由可知,从而,继而可求出.
【详解】
解:由抛物线的方程可得焦点,准线方程为:.作垂直于轴交于
因为,所以可得为线段的三等分点,即.
由,所以,即,所以
故选:A.

【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解.本题的关键是长度的转化.
8．某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用函数图象判断奇偶性，排除选项A，根据周期性，排除选项D，利用时，的值恒大于等于0，排除B，则答案可求.
【详解】
根据函数的部分图象，可得该函数的图象关于y轴对称，故该函数为偶函数， 而A中的函数为奇函数，故排除A；再根据图像可知的最小正周期，而的最小正周期是2π，大于4，故排除D；又当时， 的值恒大于等于0，故排除B.
所以C选项是正确的.
【点睛】
本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属中档题.
9．如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔的高度（如图），铁塔垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部在同一水平面上选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为,并测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）

A．300m B．600m C．m D．
【答案】B
【解析】设,则,在中,结合余弦定理可列关于 的方程,求出后即可得到的长.
【详解】
解:设,由图利用直角三角形的性质可得:.
在中,由余弦定理可得:
化为:,解得.
故选:B.
【点睛】
本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形.
10．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如图所示.其中，,，现将绕斜边旋转至处（不在平面上）.若为的中点，则在旋转过程中，直线与所成角( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意分析出与落在同一个轴截面上时，取得最大值为,但取不到.进而可求出的取值范围.
【详解】
解:作,可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线.

由题意知与落在同一个轴截面上时，取得最大值
则的最大值为，
此时，平面.
不在平面上,.
在旋转过程中，直线与所成角.
故选:D.
【点睛】
本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象能力有一定的要求.
11．设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别画出的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.
【详解】
解:如图所示:由题意可得中，.
中，当时，，.
当时，，.
当时，，.
当，恒有，所以不正确，也不正确；
中，从图象上看，.令，则
所以，即，故正确，不正确.
故选:C.

【点睛】
本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画 的函数图象时，一般地，先画出 的图象，再将 轴下方的图象向上翻折即可.


二、填空题
12．已知函数,给出下列三个命题：
①函数的图象关于直线对称；
②函数在区间上单调递增；
③函数的最小正周期为.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】讨论 的取值范围,去掉绝对值号,从而得到,结合图象即可判断三种命题的正确与否.
【详解】
解:
,其大致图象如图所示

①的图象不关于直线对称,即①错误;
②在区间上单调递增,即②正确;③的最小正周期为,即③错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号.
13．函数在点处的切线方程为_____．
【答案】
【解析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.
【详解】
函数
则
由导数几何意义可知
根据点斜式可得直线方程为
化简可得
故答案为：
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.
14．已知向量满足，若的最大值为，则向量的夹角的最小值为__________，的取值范围为__________．
【答案】
【解析】分析：由题意，求得，所以的最小值为，再利用向量的模的计算公式，即可求解.
详解：由题意，则，
解得，所以，所以的最小值为，
所以，所以.
点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
15．飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖3次为一轮，一轮中投掷3次飞镖至少两次投中9环以上，则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为，则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____
【答案】
【解析】先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率，即可求出至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率.
【详解】
解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为.
则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是：
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为1，可以减少本题的计算量.
16．已知双曲线的方程为，右焦点为，若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为_____
【答案】
【解析】求出左右焦点的坐标，从而可求；通过分析，将周长最小转化为求的最小值.当在左支上运动到共线时取得最小值，从而可求周长的最小值.
【详解】
解：双曲线的标准方程为，设双曲线的左焦点为，
由双曲线可得，，
周长为
由双曲线的定义可得，即有.
当在左支上运动到共线时，取得最小值.
则有周长的最小值为.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.

三、解答题
17．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列 满足：，当，时，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，证明：.
【答案】（1）;;(2)证明见解析.
【解析】（1）用和将已知，表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由可得，两式相减进行整理可求出的通项公式.
（2）用错位相减法求出的前项和，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）数列为等差数列，是数列的前项和，且，
设数列的首项为，公差为，则：，解得：，
所以.因为①
所以当 时，.②
①﹣②得：，由于，整理得（常数）.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以.
证明：（2）由（1）得.所以①，
故②①﹣②得：
.所以
.即.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法.对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化1.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M、E分别是PA、PD的中点

(1)求证：CE//平面BMD
(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】(1) 连接ME，通过对边关系得到四边形为平行四边形，所以，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线PA的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角.
【详解】
（1）连接ME，因为点分别是的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面,所以平面.
（2）如图，以为坐标原点建立空间坐标系，则

又，
设平面的法向量为，列方程组求得其中一个法向量为，设直线与平面所成角大小为，于是
，
进而求得.
【点睛】
这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．
19．已知椭圆的左、右顶点分别为、，且，椭圆 的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点 在椭圆内，直线 与分别与椭圆交于、两点，若面积是面积的5倍，求的值.
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）由可求，由离心率为可求，由可求，进而可求标准方程.
（2）由可求出直线 与的方程，与椭圆方程联立，进而可求、的纵坐标，由面积关系可得，从而可求 的值.
【详解】
解：（1）由题意可得：，解得，
椭圆的标准方程为：.
（2），直线的斜率，
直线的方程为：.联立直线和椭圆的方程
，解得，同理可得，
，即.
，又，，解得或
因为点在椭圆内，所以.，.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点 在椭圆内这一条件，从而未对的值进行取舍.
20．BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BMI数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm时，我们说身高较高，身高小于170cm时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66




（1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）；
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
﹣1.5
﹣0.5







（2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.
参考公式： ，..
参考数据：，，，，.
【答案】（1）填表见解析;;（2）.
【解析】（1）由表中的数据可求出线性回归方程为，进而可完善所给表格，求出所有残差值.由即可求出贡献值.
（2）计算修订后以及，代入到，进而可求出线性回归方程.
【详解】
解：（1）由题意知线性回归方程为，计算，，.完善下列残差表如下，
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高（cm）xi
166
167
160
173
178
169
158
173
体重（kg）yi
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
0.1
0.3
0.9
﹣1.5
﹣0.5
﹣2.3
﹣0.5
3.5


计算 ，
所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值.
（2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第8组，且
由，计算修订后
又，，修订后.
所以，
.
所以关于的线性回归方程是.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量.
21．已知函数，其中.
（1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值；
（2）设，函数有两个不同的零点，求的最大整数值.（参考数据）
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）利用导数的几何意义可得，因此，利用导数研究其单调性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.
（2）根据题意，关于的方程有两个不同的解，设利用导数得到存在使得.则要使得关于的方程有两个不同的解，则，当时，设经验证 有两个不同的零点，即可证明.
【详解】
解：（1）设直线与曲线相切于点，
，，.
又因为点在切线上，所以.所以
.因此
设，则
令得，；令得，.
在上单调递增，在上单调递减.
的最大值为.则的最大值为.
（2）函数有两个不同的零点,
等价于方程有两个不相等的实根.
设，则等价于方程有两个不同的解，
即关于的方程有两个不同的解，设,
则.设，由可知
在上单调递减，又
存在使得，即，则.
当时，，，函数单调递增；当时
，，函数单调递减.所以函数的极大值为
.
要使得关于的方程有两个不同的解，则.
当时，设，则
可知在上单调递增，在上单调递减，
又 p（1）＝0
所以有两个不同的零点，符合题意，所以的最大整数值为.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于 型的函数， 的零点个数就等同于 图像的交点个数.
22．.极坐标系于直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点.
（1）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；
（2）设，当时，求的值域.
【答案】（1），的直角坐标方程为;的直角坐标方程为;（2）.
【解析】（1）由可得进而可求的直角坐标方程; 把的方程化为直角坐标方程为，由题意知，该直线过，则可求出.
（2），，，，则，结合则可求出，进而可求值域.
【详解】
解：（1）：，即，化为直角坐标方程
为.把的方程化为直角坐标方程为.
因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心
解得，故的直角坐标方程为.
（2）由题意可得，当时，
，，，
则
.
当时，，则
故的值域为.
【点睛】
本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式 即可；对于 在求值域时，往往先求出 的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域.
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据x的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式
（2）利用基本不等式的合理利用求最大值
【详解】
（1）①当时，
②当时，
③当时，
综上：的解集为
（2）法一：由（1）可知
即
又且
则，设

同理：，


，即
当且仅当时取得最大值
法二：由（1）可知
即
又且


当且仅当时取得最大值
法三：由（1）可知
即

由柯西不等式可知：

即：

当且仅当即时，取得最大值
【点睛】
考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用