2020届河北省辛集中学高三上学期模拟考试（一）数学（理）试卷

2020届河北省辛集中学高三上学期模拟考试（一）数学（理）试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈N|x≤1}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（　　）

A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}

2．（1+i）2＝（　　）

A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2

3．已知命题p：方程x2+ax﹣1＝0有两个实数根；命题q：函数f（x）＝sinx+，x∈（0，π）的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．

则其中真命题的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．对任意x，下列不等式恒成立的是（　　）

A．x2＞0           B． 

C． D．lgx＞0

5．设向量，，且，则向量与的夹角为（　　）

A．    B．    C．   D．

6．运行如图所示的程序框图，输出的n等于（　　）

A．27     B．28  C．29     D．30

7．已知函数的部分图象如图所示，g（x）＝Acos（ωx+x0）的图象的对称轴方程可以是（　　）

A．  B．    C． D．

8．如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝BG＝1，，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（　　）

A．24π    B．6π C．    D．

9．已知点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则z＝的取值范围是（　　）

A．（﹣]∪[2，+∞） B．[﹣2，] 

C．[] D．[﹣]

10．将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（　　）

A． B． C． D．

11．关于下列命题，正确的个数是（　　）

（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15＝0外，则k＞2或k＜﹣4

（2）已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，直线y＝kx，则直线与圆恒相切

（3）已知点P是直线2x+y+4＝0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2

（4）设直线系M：xcosθ+ysinθ＝2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），f（0）＝0，若不等式f（x）﹣k＞0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（　　）

A．   B．    C． D．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．已知函数f（x）＝，若f（a）＝1，则实数a＝　   　．

14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（1﹣x），f（1）＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且4an﹣2Sn＝1（n∈N+），f（a3）+f（a5）＝　   　．

15．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝　   　．

16．已知当x∈（1，2]时，不等式（x﹣1）2≤logax恒成立，则实数a的取值范围为　   　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17． Sn为数列{an}前n项和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3，

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和．

18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．试用空间向量知识解下列问题：

（1）求证：平面ABB1A1⊥平面A1BD；

（2）求二面角A﹣A1D﹣B的大小．

19．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．

20．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．

21．已知函数f（x）＝ln x+a（1﹣x）（a∈R）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当a＝﹣时，令g（x）＝x2﹣1﹣2f（x），其导函数为g′（x）．设x1，x2是函数g（x）的两个零点，判断是否为g′（x）的零点？并说明理由．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）若点A，B为曲线C上的两点，且OA⊥OB，求|OA|•|OB|的最小值．

23．已知函数f（x）＝|x﹣4|+|x+3|．

（1）解不等式f（x）＜9

（2）若不等式f（x）＜|a﹣2|+1在实数R上的解集不是空集，求正数a的取值范围．

高三数学理科模拟试题一参考答案与试题解析

1：A．2：A．3：C．4：C．5：D．6：C．7：B．8：B．9：C．10：A．11：C．

12：设g（x）＝exf（x），则g′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]＝1，

可设g（x）＝x+c，

∵g（0）＝f（0）＝0+c＝0．∴c＝0，  ∴g（x）＝x，

∴f（x）＝，∴f′（x）＝，

当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

∴f（x）max＝f（1）＝，

当x→+∞时，f（x）→0，

不等式f（x）﹣k＞0的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1，2

∴f（3）≤k＜f（2），   ∴≤k＜

故选：D．

13：0或﹣1．   14：﹣2．

15解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，则M（﹣，0），

设直线MP的方程为x＝ky﹣，

由得y2﹣2pkx+p2＝0，

△＝4k2p2﹣4p2＝0，可得k＝±1，

∴两切线的互相垂直，∴∠PMQ＝，

故答案为：

16解：当x∈（1，2]时，不等式（x﹣1）2≤logax恒成立，

令u＝（x﹣1）2，开口向上，对称轴x＝1，

x∈（1，2]时，函数u是增函数．则umax＝1，u∈[0，1]

那么：不等式（x﹣1）2≤logax恒成立等价于：1≤logax，

则有：logaa≤logax，

∵1＜x≤2，

当0＜a＜1时，无解．   当1＜a时，且1≤loga2，

即a∈（1，2]，

故答案为（1，2]．

17解：（1）an＞0，an2+2an＝4Sn+3，

n≥2时，+2an﹣1＝4Sn﹣1+3，

相减可得：an2+2an﹣（+2an﹣1）＝4an，

化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，

∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2＝0，即an﹣an﹣1＝2，

又＝4a1+3，a1＞0，解得a1＝3．

∴数列{an}是等差数列，首项为3，公差为2．

∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．

（2）bn＝＝＝，

∴数列{bn}的前n项和＝+…+

＝＝．

18（1）证明：取BC中点O，连AO，∵△ABC为正三角形，  ∴AO⊥BC，

∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，

取B1C1中点为O1，以O为原点，

，，的方向为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，

则．

∴，

∵，．

∴，，∴AB1⊥面A1BD．…（5分）

AA1⊂面A1BD

所以 平面ABB1A1⊥面A1BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）解：设平面A1AD的法向量为，．

，

∴，∴⇒，

令z＝1，得为平面A1AD的一个法向量，﹣﹣﹣（8分）

由（1）知AB1⊥面A1BD，

∴为平面A1AD的法向量，，（11分）

∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为＝．…（12分）

19解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m＝35，

由频率分布直方图，得：

．

（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100＝5人，

其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3

，，  ，

∴ξ的分布列为：

所以．

20解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，

由直线MF1的斜率1，得，

因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），

所以，

因为，

即，

所以|QF1|＝2|PF1|，

当直线l的斜率为0时，不符合题意，

故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），

由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，   则有y2＝﹣2y1，

联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，

消去y2得，所以，得，

又由画图可知不符合题意，所以，

故直线l的斜率为．

21解：（Ⅰ）依题意，知函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝﹣a，

1°当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，

2°当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝，

所以，f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．

（Ⅱ）不是导函数g′（x）的零点，

由（Ⅰ）知，g（x）＝x2﹣2lnx﹣x，

∵x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，

∴x12﹣2lnx1﹣x1＝0，x22﹣2lnx2﹣x2＝0，

两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2﹣1）＝2（lnx1﹣lnx2），

即x1+x2﹣1＝，

又g′（x）＝2x﹣﹣1，

∴g′（）＝x1+x2﹣﹣1＝﹣＝[（lnx1﹣lnx2）﹣]，

设t＝，则0＜t＜1，

令φ（t）＝lnt﹣，

∴φ′（t）＝﹣＝＞0在（0，1）恒成立，

∴φ（t）在（0，1）上是增函数，

∴φ（t）＜φ（1）＝0，   ∴lnt﹣＜0，

从而（lnx1﹣lnx2）﹣＜0，

∵＜0，

∴[（lnx1﹣lnx2）﹣]，

∴g′（）＞0，

∴不是导函数g′（x）的零点，

22解：（1）曲线C：（α为参数），可得曲线C的普通方程为＝1．

∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C的极坐标方程为．

（2）由对称性，设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），，其中，

则|OA|•|OB|＝ρ1×ρ2＝＝．

当且仅当sin22θ＝1即θ＝，|OA|•|OB|取到最小值．

23解：（1）①当x≤﹣3时，原不等式可化为﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝﹣2x+1＜9，

解得，x＞﹣4，结合x≤﹣3，

故﹣4＜x≤﹣3是原不等式的解；

②当﹣3＜x≤4时，原不等式可化为﹣（x﹣4）+x+3＝7＜9，

此时不等式恒成立，

故﹣3＜x≤4是原不等式的解；

③当x＞4时，原不等式化为x﹣4+x+3＝2x﹣1＜9，

解之得x＜5，

故4＜x＜5是原不等式的解．

由①②③可知，﹣4＜x＜5，

故原不等式的解集为{x|﹣4＜x＜5}；

（2）由绝对值的几何意义知|x﹣4|+|x+3|表示实数轴上的点到﹣3和到4两点的距离之和，

故|x﹣4|+|x+3|≥7，

由题意，不等式|x﹣4|+|x+3|＜|a﹣2|+1在实数集上的解不为空集，

只要|a﹣2|+1＞（|x﹣4|+|x+3|）min即可，

即|a﹣2|+1＞7，解得a＞8或a＜﹣4，由于a＞0，则a＞8．

故正数a的取值范围是：（8，+∞）．