2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（理）（二）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（理）（二）试题

一、单选题

1．已知集合且，则的非空真子集的个数为(    )

A．30 B．31 C．62 D．63

【答案】A

【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A的元素个数间的关系求解.

【详解】

因为集合且，

所以的非空真子集的个数为 .

故选：A

【点睛】

本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.

2．复数满足，则（    ）

A．2 B．4 C． D．5

【答案】C

【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|．

【详解】

，故.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题．

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接由诱导公式计算即可.

【详解】

由诱导公式可得：

，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.

4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点处，乙向东行走到处，甲向南行走到处，甲看到乙，便从走到处，甲乙二人共行走1600步，比长80步，若按如图所示的程序框图执行求，则判断框中应填入的条件为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得， 则 ，所以 ，再根据为直角三角形 求解.

【详解】

由题意得，

则 ，

所以 ，

符合程序框图所示:

又为直角三角形，且，

所以 .

故选：A

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

5．已知袋中有3个红球，个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是，则（    ）

A．1 B．2 C．6 D．7

【答案】B

【解析】恰1红1白的概率为：，然后求出答案即可

【详解】

恰1红1白的概率为：

故选：B

【点睛】

本题考查的是独立重复试验下的概率计算，较简单.

6．已知双曲线，圆.是双曲线右支上的一个动点，以为圆心作圆与圆相外切，则以下命题正确的是（    ）

A．过双曲线的右焦点 B．过双曲线的右顶点

C．过双曲线的左焦点 D．过双曲线的左顶点

【答案】A

【解析】由与相外切得，由双曲线的定义得：，然后可得

【详解】

与相外切， 可得：， 而，

故， 故过右焦点.

故选：A

【点睛】

本题考查的是两圆的位置关系和双曲线的定义，较简单.

7．在中，，，，内有一点，满足：， 且，， ，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】设，，从而可得， 由，可得共线，然后即可得出答案.

【详解】

设，，

，

由，故共线，

等腰直角中， 的最小值为点到的距离，则的最小值为.

故选：C

【点睛】

三点共线，若，则.

8．已知函数 的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】D

【解析】函数的对称轴可表示为：，在上单调可得，使得，然后可得，即可分析出答案.

【详解】

函数的对称轴可表示为：，

 在上单调可得，使得，

 解得 

又. ，

∴当3时，可取最大值为

【点睛】

本题考查的是正弦型函数的对称性和单调性，属于中档题.

9．已知椭圆 的上顶点为， 右焦点为， 延长交椭圆于点， ，则椭圆的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，由可得，然后代入椭圆方程化简即可.

【详解】

设， 则由

代入椭圆的方程，整理得：

所以，

所以.

故选：A

【点睛】

本题考查的是平面向量的坐标运算及求椭圆的离心率，属于中档题.

10．已知，其中，则(    )

A．182 B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知，令，得：，根据导数的运算公式，得，令和，即可求出答案.

【详解】

解：根据题意，，

令，得：，

由于

，

即，

，

令，解得，

而，令，得.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力.

11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即可得出结论．

【详解】

根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，

画出图形如图所示：

正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，

则CD=1，BC=AD=，BD=BE=CF=，

结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD为直角三角形，

由勾股定理得AB，AC=，

最长的棱为AB=，

故选：C.

【点睛】

本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.

12．已知函数，（为自然对数的底数），，使得成立，则实数的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由可得，然后利用导数求出右边的最小值即可.

【详解】

因为，所以由可得

令

则.

令，则.

故为增函数.

因为，，

故有唯一解，设为，则有，.

在上，；

在上，.

故，

故的最小值为1.

故选：A

【点睛】

恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为最值问题.

二、填空题

13．已知是偶函数，则的解集为______.

【答案】

【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出为奇函数，，利用函数的单调性解不等式，即可求出的解集.

【详解】

解：由题知，是偶函数，

故为奇函数，，

对，

即在上为增函数，

，

即的解集为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.

14．已知，满足线性约束条件目标函数的最大值为2，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据，满足线性约束条件，且直线过定点 ，将目标函数化为，平移直线，根据时，最优解在直线上，而在可行域内，且满足结合图形求解.

【详解】

，满足线性约束条件，直线，过定点

目标函数化为，平移直线，在y轴上截距最大时，目标函数值最大，

当时，可知：最优解在直线上，

而在可行域内，且满足.

所以最大值点为

如图所示：

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.

15．已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________

【答案】

【解析】设点，则，将代入消元，然后即可求出右边的最小值.

【详解】

设点，则       

又因为，则，

故，，

易得函数在上单调递增.

则的最小值为，故的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用圆的方程进行消元，然后利用函数的知识求最值，属于中档题.

16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.

【答案】

【解析】首先得到，然后由余弦定理得：，，然后求出即可

【详解】

如图，为楼脚，为楼高，则，易得：.

由余弦定理得：，

 ，

 两式相加得：，

则，

故.

故答案为：

【点睛】

解答本题的关键是要注意：本题对应的是一个立体图形，然后用余弦定理求解.

三、解答题

17．已知数列满足，，且数列是等差数列.

（1）求数列的通项公式；   

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）令，然后用等差数列的知识求出即可

（2），然后即可求出

【详解】

(1)设，

则，

故，

即.

（2）由得

【点睛】

常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.

18．四棱锥中，，，，.为锐角，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）先作于，则由平面平面平面，又在底面中可得，从而可得平面，结合平面.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求.

【详解】

（1）作于，

则由平面平面平面，

取中点为，则，

又为锐角，∴、不重合，

平面与平面.

（2）取中点，如图建立空间直角坐标系（其中轴与平行），

则，，，，

由（1）的证明知：平面法向量为，

设平面法向量为，

则，

令，

.

【点睛】

本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题；

19．直线过点，且交抛物线于两点，.

（1）求；

（2）过点的直线交抛物线于两点，抛物线上是否存在定点，使直线斜率之和为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）2（2）存在，或

【解析】（1）设，由得，然后设直线，与抛物线方程联立消元即可

（2）设，，代入整理得：，即得，然后可推出，当时为定值.

【详解】

（1）设，

则由，

设直线，

联立消元得

所以，所以，解得

（2）设，

，代入整理得：，

∴

则

当且仅当时，此式为定值，   

解得，       

故或

【点睛】

涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.

20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量（单位：只）的统计情况如下表：

这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡只，送到城里的这7个饭店，每个饭店只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只元的价钱处理.

（Ⅰ）若，求养鸡厂当天在饭店得到的利润（单位：元）关于需求量（单位：只，）的函数解析式；

（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）119只.

【解析】（Ⅰ）根据题意，可求出利润关于需求量的函数解析式：，即可求出当时，关于的解析式；

(Ⅱ)根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112只和出栏119只时的分布列和期望，比较即可得出结论.

【详解】

（Ⅰ）当时，，

当时，，

，

当时，.

（Ⅱ）若出栏112只，则，

由（Ⅰ）知，当时，，

记表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.

可取420，450，480，

，，，

的分布列为：

，

若出栏119只，则，

记表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.

当时，，

可取417，448，479，510，

，，

，，

的分布列为：

.

综上可知，，则养鸡厂出栏119只时，利润最大.

【点睛】

本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.

21．已知函数，.

（1）若，有公共点，且在点处有相同的切线，求点的坐标；

（2）判定函数在上的零点个数.

【答案】（1）的坐标为或.（2）见解析

【解析】（1）设，分和两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在处的导数值和函数值相等建立方程求解

（2）结合（1）中得到的结论，分、、、四种情况讨论.

【详解】

（1）设，

则当时，

由()得：，代入()得：

对函数，求导得：

故为增函数，且.故

当时

综上，的坐标为或.

 （2）由（1）知：时，，

故时，，

故有唯一零点为：，

故有唯一零点.

当时，无零点.

当时，在上至多1个零点，在上至少2个零点.

而时，

故在上各1个零点.

当时，.满足：，，

故在上，仅1个零点.

设为，在上，为减函数，在上，为增函数.

而时，.

故仅在上有1个零点.

综上可得：当时，有0个零点；当或时，有1个零点；

当时，有2个零点.

【点睛】

本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，属于压轴题.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，把直线的参数方程化为普通方程，把椭圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，且，中点为，求直线的斜率.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）根据直线的参数方程为，且，消去t即可直线的的普通方程.根据椭圆的极坐标方程，变形为，再利用 求解.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得，利用，中点为，且直线过，利用参数的几何意义求解.

【详解】

（Ⅰ）因为直线的参数方程为，且，

所以，

消去t得，

所以直线的普通方程为：；

因为椭圆的极坐标方程为.

所以，

，

椭圆的直角坐标方程为：.

（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆的直角坐标方程整理得：，

因为，中点为

所以，

故，

所以直线的斜率为.

【点睛】

本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23．已知函数.

（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）的解集为，求和.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ），，.

【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由，求得最小值，再由求解.

（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当时，，即，解得：或4.，再分类求解.

【详解】

（Ⅰ）因为，

当且仅当时取等，

故最小值为，

或.

（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：时，

，即，解得：或4.

时，如图所示：

不合题意舍去.

时，如图所示：

由与解得：，

即，

综上，，.

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.