2020届北京市延庆区高三3月模拟考试数学试题

2020北京延庆区高三一模

                  数    学                         2020.3

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知复数是正实数，则实数的值为

A.   B.   C.   D.

2. 已知向量若与方向相同，则等于

A.   B.   C.   D.

3. 下列函数中最小正周期为的函数是

A.   B.   C.   D.

4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是

A.   B.   C.   D.

5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为

A. 8   B. 12  

C.    D. 20

6. 的展开式中，的系数是

A. 160   B. 80  

C. 50   D. 10

7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于

A.    B.   

C.    D.

8. 已知直线，平面，那么“”是“”的

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件  D. 既不充分也不必要条件

9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）

A. 6年  B. 7年  C. 8年  D. 9年

10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为

A.   B.   C.   D.

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。

11. 已知集合,且则的取值范围是        

12. 经过点且与圆相切的直线的方程是       

13. 已知函数则       

14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有                            种；这三天售出的商品至少有                                          种.

15. 在中，是边的中点.若，则的长等于    ；若，则的面积等于       .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）

如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.

（Ⅰ）求证：是的中点；

（Ⅱ）求证：和所成角等于

17.（本小题14分）

已知数列是等差数列，是的前项和，，       .

（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由；

（Ⅱ）求的最值.

从 ①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题14分）

三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：

（Ⅰ）试估计班的学生人数；

（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；

（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.

19. （本小题14分）

已知函数其中

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

20.（本小题15分）

已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程；

（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.

21.（本小题14分）

在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）证明：中总有一项为或.

2020北京延庆区高三一模数学

参考答案

一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.  C     2．D．   3．D    4．C      5. B  

6．B     7．A     8.  C    9.  B    10. A 

二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）

11．；      12. ；  13．；    

14．；     15．.

10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.

15. 在中，，在中，，

相除得：，

所以，

所以.

三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）

16.（Ⅰ）联结，设与交于，联结，             …………1分

因为 平面，

平面平面=,

所以      …………4分

因为 是正方形，

所以 是的中点

所以 是的中点       …………6分

（Ⅱ）（法一）因为 平面，

所以                                       …………7分

因为 是正方形，

所以

因为

所以 平面                               …………10分

所以

因为

因为

所以 平面                               …………13分

因为 平面

所以

所以 与成角.                            …………14分

（法二）连接，

因为 平面，

所以 ， .                              ………7分

因为 是正方形，

所以 .

所以 两两垂直.

以分别为、、建立空间直角坐标系.………8分

则，，，，         ………9分

，,                      ………10分

（………1分）

                                           ………13分

所以所以 与成角.                           ………14分

17. 解：选① （Ⅰ）因为，

所以                                    …………2分

所以                 …………4分

所以

                                …………6分

令 ，则

此方程无正整数解

所以不是数列中的项.                  …………8分

不能只看结果；

某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；

只有结果，正确给1分.

（Ⅱ）（法一）令， 即 ，解得： 

当时，当时，   …………11分

当时，的最小值为.…13分

无最大值                                 …………14分

只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.

无最大值 …1分

（Ⅱ）（法二），

                         …………11分

当时，的最小值为.…13分

无最大值                                 …………14分

选② （Ⅰ），

                                      …………2分

                  …………4分

                               …………6分

令 ，则

解得

是数列中的第512项.               …………8分

（Ⅱ）令， 即 ，解得：

当时，

当时，当时，   …………11分

当或时，的最小值为

.              …………13分

无最大值                                 …………14分

选③ （Ⅰ），

                                    …………2分

                  …………4分

                              …………6分

令 ，则（舍去）

不是数列中的项.                   …………8分

（Ⅱ）令， 即 ，解得：

当时，

当时，当时， …………11分

当或时，的最大值为

.               …………13分

无最小值.                                …………14分

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样

方法，班的学生人数估计为．              …………3分

只有结果36扣1分

（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分

设此人一周上网时长超过15小时为事件D,

其中D包含的选法有3+2+4=9种，                     …………6分

.                                      …………7分

由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的

概率为.                                       ……………8分

只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.

（Ⅲ）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件

则所求事件的概率为：

.   ……………14分

（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有种选法，从B班的7人中随机选1人，有种选法，

故选法总数为：种                ……………10分

设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，

则中包含以下情况：

（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，

（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人

超15小时，                                       ……………11分

所以.          ……………14分

只有，而无文字说明，扣1分

有设或答，有，给3分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：.

切线的斜率；

曲线在原点处的切线方程为：.           ……………5分

（Ⅱ）

       ……………7分

（1）当           

则

   ……………9分

法1：                        ……………10分

在恒成立，

.                  

                        ……………13分

所以的取值范围为.                              ……………14分

法2：；                      ……………10分

当时，，，

；

即时，；

时，

，

所以的取值范围为.                              ……………14分

用趋近说：，论述不严谨，扣1分.

（2）当.

则

法1：.

在恒成立，

.

综上：的取值范围是.

法2：；

当时，，，

；（论述不严谨，扣1分）

即时，；时，

，

综上：的取值范围是.

20．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得   （试根法）

所以椭圆的标准方程为.                               …3分

法二：设椭圆的右焦点为，则，

，

，   ，

所以椭圆的标准方程为.                               …3分

（Ⅱ）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在，                       …4分

设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线 与该椭圆的交点

为 由可得，      …5分

      易知，且，                         …6分

      则        …7分

，

 所以(负舍)，所以直线的方程为. …8分 

用到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，

设点，   

又  解得：

所以直线的方程为，即.

（Ⅲ）设，，则，易知，.

由，，所以直线的方程为.            …9分

 若使的面积是的面积的4倍，只需使得，     …10分

法一：即 ① .                                                …11分

设直线的方程为，由 得，  …12分

由 得，，                        …13分

  代入①可得，即：（约分后求解）

解得，所以.                              …15分

法二：所以，即.                      …11分

设直线的方程为，由 得，  …12分

所以，因为点在椭圆上，所以， …13分

   代入可得，即：

解得，

所以.                                               …15分

法三：所以，即.                      …11分   

点在线段上，所以，整理得，①  …12分

因为点在椭圆上，所以，②

把①式代入②式可得，解得.      …13分

于是，所以，.

所以，所求直线的方程为.                            …15分

21.解：（Ⅰ）当时，中的各项依次为，

         所以.                       …………………………3分

   （Ⅱ）① 若是奇数，则是偶数，，

        由，得，解得，适合题意.

         ② 若是偶数，不妨设，则.

        若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；

        若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.

         综上，.                          …………………………8分

   （Ⅲ）首先证明：一定存在某个，使得成立.

         否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有；

         在为偶数时，有，或.

         因此，若对每一个，都有，则单调递减，

         注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，

         所以必定存在某个，使得成立.

         经检验，当，或，或时，中出现；

         当时，中出现，

         综上，中总有一项为或.           …………………………14分