2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】化简集合,即可求出.【详解】由题意得，，∵B中，，∴，∴，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解不等式，求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围.【详解】由不等式，解得，由得，是的必要不充分条件，可知,所以，故实数的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3．已知向量 ，若，则实数（    ）A． B．5 C．4 D．【答案】A【解析】先由题意，得到，，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为，所以，，又，所以，即，解得：.故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4．若是三角形的一个内角，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果.【详解】∵，，，，又∵，∴，，.故选C.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.5．曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】求出，即为切线的斜率，可求出.【详解】因为，所以，因此，曲线在处的切线斜率为，又该切线与直线平行，所以，∴.故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.6．等比数列的前项和为，公比为，若，，则（    ）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【解析】根据已知条件，先求出，再应用等比数列前项和为的性质，即可求出结果.【详解】由题意得∵，，∴，根据等比数列的性质可知，，，构成等比数列，故，∴，故.故选C.【点睛】本题考查等比数列前项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.7．已知函数，设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案.【详解】∵，∴，∴，∴，∴函数是奇函数，∴当时，易得为增函数，故在上单调递增，∵，，，∴，∴.故选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.8．关于函数，下列说法错误的是（    ）A．是奇函数 B．是周期函数C．有零点 D．在上单调递增【答案】B【解析】根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.【详解】，则为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B错误；因为，在上有零点，故C正确；由于，故在上单调递增，故D正确.故选B.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.9．已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，为偶函数， 且经过点，则点也在函数图象上，又当时，不等式恒成立，则函数在上为减函数，因为，所以解得或.故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10．已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示：表示过可行域内的点与点的直线的斜率的最大值，由，解得，这时，故目标函数的最大值是.故选D.【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.11．的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：，又，，因此，故.所以，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4. 故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12．已知函数，令函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】构造新函数，问题转化为与有两个交点，作出，利用数学结合思想，即可求得结果.【详解】令，当时，函数，由得得，得，由得得，得，当值趋向于正无穷大时，值也趋向于负无穷大，即当时，函数取得极大值，极大值为，当时，，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数的图象如图：要使（为常数）有两个不相等的实根，则或，即若函数有两个不同零点，实数的取值范围是．故选C.【点睛】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.  二、填空题13．若是偶函数，当时，，则=.______.【答案】1【解析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为时，，且函数是偶函数，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.14．若关于的不等式的解集是，则_______.【答案】或【解析】先由题意得到关于的方程的两根分别是和，进而可求出结果.【详解】因为关于的不等式的解集是，所以关于的方程的两根分别是和，所以有，解得：或.故答案为：或【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.15．设为所在平面内一点，，若，则=__________.【答案】【解析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到，再由题意确定的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由，可知，、、三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得: ，，，解得: ，则故答案为：【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16．下列命题中：①已知函数的定义域为，则函数的定义域为；②若集合中只有一个元素，则；③函数在上是增函数；④方程的实根的个数是1.所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）.【答案】②③【解析】对于①根据复合函数与函数自变量的关系，即可判断为正确；对于②等价于方程有等根，故，求出的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出，的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确.【详解】对于①，因为函数的定义域为，即，故的定义域应该是，故①正确；对于②，，故，故②正确；对于③，的图象由反比例函数向右平移个单位，故其单调性与函数单调性相同，故可判定在上是增函数，③正确；对于④，在同一坐标系中作出，的图象，由图可知有两个交点.故方程的实根的个数为2，故④错误.故答案为①②③.【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合. 三、解答题17．已知命题，不等式恒成立；命题:函数，；(1)若命题为真，求的取值范围；(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】（1）根据为真，得到时，即可，根据函数单调性，求出的最小值，进而可求出结果；（2）若为真命题，根据题意得到，由函数单调性，求出在上的最大值，进而可求出结果.【详解】(1) 若为真，即，不等式恒成立;只需时，即可，易知：函数在递减，所以的最小值为，因此. (2)若为真命题，则，易知：在上单调递减，所以；因此，故或，因为命题是真命题，所以，均为真命题，故满足或解得：，因此实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18．已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在区间上的最小值，并求出取得最值时的值.【答案】(1),；(2) 最小值为， .【解析】（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；（2）由得，根据正弦函数的性质，即可得出结果.【详解】(1)因为所以函数的最小正周期为.由，得故函数的单调递减区间为. (2)因为，所以当即时，所以函数在区间上的最小值为，此时.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19．已知二次函数满足，，且0为函数的零点.（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）   （2）【解析】（1）根据已知条件可得的对称轴方程，结合，，即可求出;（2）从不等式中分离，不等式恒成立转为与函数的最值关系，即可求出结果.【详解】（1）设，由题意可知，，得到，即得到，又因为0是函数的零点，即0是方程的根，即满足，得，又∵，∴，∵，∴，∴.（2）当时，恒成立，即恒成立；令，，则，∴.【点睛】本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.20．已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且.（1）求数列、的通项公式；（2）记中，求数列的前项和.【答案】（1），   （2）【解析】对于根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于利用已知前项和与通项关系，可求得通项；（2）根据的通项公式，用裂项相消法，可求出的前项和.【详解】（1）由已知得，解得，，所以，当时，，∴，两式相减得,以2为首项公比为2的等比数列，.（2）由（1）知，所以∴.【点睛】本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前项和求通项，以及求数列的前项和，属于中档题.21．已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.【答案】（1）   （2）答案不唯一，见解析   （3）【解析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.【详解】（1）当时，，这时的导数，令，即，解得，令得到，令得到，故函数在单调递减，在单调递增；故函数在时取到最小值，故；（2）当时，函数导数为，若时，，单调递减，若时，，当或时，，当时，，即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.若时，，当或时，，当时，，函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.综上，若时，函数的减区间为，无增区间，若时，函数的减区间为，，增区间为，若时，函数的减区间为，，增区间为.（3）当时，设函数.令，，当时，，为增函数，，为增函数，在区间上递增，∵在上的值域是，所以在上至少有两个不同的正根，，令，求导得，，令，则，所以在递增，，，当，，∴，当，，∴，所以在上递减，在上递增，∴，∴，∴的最大值为.【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求的极坐标方程；(2)若直线与曲线相交于，两点，求.【答案】(1) ；(2).【解析】（1）根据曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果.【详解】(1)曲线的参数方程为: 为参数)，转换为普通方程为: ，转换为极坐标方程为: .(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数).把直线的参数方程代入，得到: ，(和为，对应的参数)，故: ，，所以.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.23．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】（1）先由得，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当时，不等式恒成立转化为或恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当时，不等式可化简为.  当时，，解得，所以当时，，无解；当时，，解得，所以；综上，不等式的解集为；(2)当时，不等式可化简为. 由不等式的性质得或，即或. 当时，不等式恒成立转化为或恒成立; 则或.综上，所求的取值范围为.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.