2020届福建连城县第一中学高三4月模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届福建连城县第一中学高三4月模拟考试数学（文）试题


一、单选题
1．已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}
【答案】D
【解析】列举法表示集合A，直接进行交集运算.
【详解】
∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，
B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a
【答案】C
【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝3．
∴b＝9a．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
3．已知向量，，且与的夹角为，则x=（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】由题意，代入解方程即可得解.
【详解】
由题意，
所以，且，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
4．若x，y满足约束条件则z=的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】根据题意知，目标函数z=的几何意义为经过平面区域内的动点与定点直线的斜率，作出不等式组表示的平面区域，求出经过平面区域内点与点直线斜率的最大值即可.
【详解】
由题意知，目标函数z=表示经过点和可行域内的点(x，y)的直线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图所示：

根据目标函数的几何意义，由图可知,当直线过两点时,目标函数z=有最大值,
联立方程，解得，所以点,
代入目标函数可得, z=的最大值为.
故选:C
【点睛】
本题考查非线性目标函数的线性规划问题；考查转化与化归能力、运算求解能力和数形结合思想；正确理解目标函数表示的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.
【详解】
由题可知，程序框图的运行结果为31，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
此时输出.
故选：C.
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.
6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先研究时，的正负，然后根据奇函数性质得出时函数值的正负，从而可得不等式的解集．
【详解】
时， ，∴时，，时，，
又是奇函数，∴时，，时，，
又，∴的解集为．
故选：C．
【点睛】
本题考查奇函数的性质．利用奇函数在关于原点对称的区间上函数值相反，可以通过只讨论时和的解得出时相应的解，从而得出在整个定义域上原不等式的解集．
7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ）
A．1人 B．2人 C．5人 D．6人
【答案】C
【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数.
【详解】
由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人，
仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人.
从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为，
故两项都合格的25人中应该抽取人.
故选：C.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
8．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.
【详解】
连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，则，，
在等腰中，取的中点为，连接，
则，，
所以，
即：，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：D.

【点睛】
本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.
9．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.
【详解】
联立方程，解方程可得或，
不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，
因为，，
由平面向量垂直的坐标表示可得，，
因为，所以a2-c2=ac，
两边同时除以可得，，
解得e=或（舍去），
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
10．将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：
①它的图象关于直线x=对称；
②它的最小正周期为；
③它的图象关于点(，1)对称；
④它在[]上单调递增.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【解析】根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为f(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，
函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确；
令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；
令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确；
令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误；
故选：B
【点睛】
本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A．56383 B．57171 C．59189 D．61242
【答案】C
【解析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，
公差为的等差数列，记数列
则
令，解得.
故该数列各项之和为.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的应用，属基础题。
12．已知函数（）与（）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，则通过代入法将用表示，再构造函数进行求值域，即可得答案.
【详解】
设切点为，则整理得
由，解得.由上可知，
令，则.
因为，所以，在上单调递减，
所以，即.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.


二、填空题
13．已知数列为等比数列，，则_____.
【答案】81
【解析】设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.
【详解】
设数列的公比为，由题意知，

因为，由等比数列通项公式可得，
，解得，
由等比数列通项公式可得，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机选取个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．
【答案】
【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出．
【详解】
从这个数中随机抽取个整数，所有基本事件个数为，其中的勾股数为，共个，故概率.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
15．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.
【答案】
【解析】设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，
由抛物线定义知，，解得，
不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，
又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，
点F到双曲线的渐近线的距离.
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.

【答案】32π
【解析】设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED. AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.
【详解】
设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.
当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.
则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.
解得a＝2.
此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.
故答案为：32π
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.

三、解答题
17．在中，角，，所对的边分别是，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；
（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：


即



（2）由（1）知：
，


，即的取值范围为
【点睛】
本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.
18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数






频数
5
10
15
5
10
5
赞成人数
4
6
9
3
6
4

（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.
参考公式及数据：，.

0.100
0.050
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635


【答案】（1）125分（2）列联表见解析；没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系
【解析】（1）根据题意，测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，即可得答案；
（2）完成列联表，再代入卡方系数计算公式，即可得答案.
【详解】
（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，
所以优秀分数线应定为125分.
（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有22人.
2×2列联表如下：

赞成
不赞成
合计
优秀
10
5
15
不优秀
22
13
35
合计
32
18
50


因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.
【点睛】
本题考查独立性检验、卡方系数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：是的中点.
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）根据线面平行的性质定理可证得，即可得答案；
（2）利用等积法可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面.
因为平面，平面，所以可设平面平面，
又因为平面，所以.
因为平面，平面，
所以，
从而得.
因为为的中点，所以为的中点.

（2）解：因为底面，，，
所以，，
，
所以.
设点到平面的距离为，
由，得，
解得.
【点睛】
本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
20．设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点(-1，0).
（1）求p的值及该圆的方程；
（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF.
【答案】（1）p=2. (x-1)2+y2=4.（2）见解析
【解析】（1）根据题意知，点的坐标为(，±p)，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关于的方程，求出，求得圆心F和直径即可；
（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，设M(-1，y0)，MN的方程为y=k(x+1)+y0与抛物线方程联立得到关于的一元二次方程，由判别式得到的关系式，将的表达式代入关于的一元二次方程和抛物线方程得到点的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】
（1）由题意知，点的坐标为(，±p)，
因为以AB为直径的圆经过点(-1，0)，
所以p=-(-1)，解得p=2，
所以所求圆的圆心为直径AB的中点F(1，0)，直径，
所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.
（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，
设M(-1，y0)，MN的方程为y=k(x+1)+y0，代入C的方程，
得ky2-4y+4(y0+k)=0，
令Δ=16-16k(y0+k)=0，得y0+k=，
所以ky2-4y+4(y0+k)==0，解得y=，
将y=代入C的方程，得x=，即N点的坐标为().，
所以=(-2，y0)，=(-1，)，
·=2-+y0·=2-+(-k)·=0，
故MF⊥NF.
【点睛】
本题考查抛物线和圆的几何性质、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力；利用判别式得到点的坐标和平面向量垂直的坐标表示的运用是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
21．已知函数，.
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)当时，是否存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.
【解析】（1）求出函数的定义域，接着求导，对参数分类讨论。
（2）假设存在，使得成立，则对，满足，将问题转化为求与。
【详解】
解：（1），
当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值．
当时，令，得,当时，，当时，，
故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．
综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值．当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值
（2）当时，假设存在，使得成立，则对，满足
由可得，
.
令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，
所以
由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是．
②当，即时，函数在上单调递增，
所以的最小值是．
③当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是.当时，在上的最小值是
所以当时，在上的最小值是，故，
解得,所以．
当时，函数在上的最小值是，故，
解得，所以.故实数的取值范围是
【点睛】
本题利用导数求函数的单调区间、极值问题，以及导数与函数的综合应用，属于难题。
22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.
【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】（1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式，
将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出.
【详解】
解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得，
所以曲线的普通方程为.
因为所以直线的直角坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.
设的极径分别为和，
将（）代入，解得，
将（）代入，解得.
故.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
23．设函数（）的最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；

（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.
【详解】
（1）解：
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，取最小值.
（2）证明：由（1）可知.
要证明：，即证，
因为，，为正实数，
所以

.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
【点睛】
本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.