2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试（一）数学（文）试题（解析版）

2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试（一）数学（文）试题  一、单选题1．若复数满足，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.【详解】因为故：故其共轭复数为：故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.2．集合，，则(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】，，，则，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.3．记为等差数列的前项和，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据条件建立关于和的方程组，求解.【详解】解析：由，得且，解得.故选：A【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，属于简单题型.4．下图是某地区年至年污染天数（单位：天）与年份的折线图，根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由和的的几何意义直接判断选项.【详解】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，随的增加，平缓的下降，2015年到2019年随着的增加，下降迅速，根据回归直线方程中的几何意义可知，，由点的分布可知，，所以 ，根据散点图可知.故选：C【点睛】本题考查回归直线方程和散点图的关系，重点考查对图象的分析能力，属于基础题型.5．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，两边平方后可得，再根据诱导公式直接计算结果.【详解】解析：由，得，平方得，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.6．已知双曲线的一条渐近线经过点，且其焦距为，则的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由条件建立关于的方程组，直接求解双曲线的方程；或是利用排除法获得选项.【详解】解析：依题意可得，解得，，故方程为.故选：D.另解：由焦距得，又由快速排除AB选项：点代入选项C，不满足，排除C，故选：D.【点睛】本题考查双曲线标准方程和几何性质，重点考查基础知识，属于基础题型.7．若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先画出可行域，然后画出初始目标函数，再平移直线，得到函数的最大值.【详解】如图画出可行域，令，作出初始目标函数，当初始目标函数平移至点时，取得最大值， ，解得： ，，此时的最大值.故选：D【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图和识图能力，属于基础题型.8．已知函数，若在实数集上为增函数，则常数满足（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在上递增，则有，解得不等式，即可求出结果．【详解】因为在实数集上为增函数，所以，故选C.【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．9．已知椭圆的焦距为，，是的两个焦点，点是圆与的一个公共点.若为直角三角形，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先由条件判断，再结合椭圆定义得到椭圆的离心率.【详解】依题意可得，又因为为直角三角形，所以，故 ，解得: 所以.故选：B【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，重点考查灵活应用几何性质，本题的关键是判断，属于中档题型.10．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先画出函数的图象，转化为与函数图象至多有2个零点时，求的取值范围.【详解】解析：由，得， ，当时，，当时，，函数单调递减，当时， ，函数单调递增，所以时，函数的最小值，且 ，，，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以时，函数的最小值，作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意，故选：B.【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型. 二、多选题11．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）A． B．C． D．在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解析】根据欧拉公式的定义，代入，判断选项A，根据模的计算公式判断B，令，两个式子联立解方程组判断C,令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，判断D.【详解】解析：，A对；，B对：，C错；依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限；D错；故选：AB.【点睛】本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义.12．在中，角，，所对的边分别为，，.若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是（    ）A． B． C． D．的面积为【答案】ACD【解析】首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积比值，判断C和D.【详解】解析：在中，根据余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.在中，，故选项A正确在中，，解得.故选项B错误；，解得，故选项C正确；在中，由得，，所以，故选项D正确故选：ACD【点睛】本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型.  三、填空题13．已知向量，，若，则______________.【答案】2【解析】两边平方后，得到，根据向量数量积计算结果.【详解】，两边平方可得，故，得.故答案为：2【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.14．已知，，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为__________.【答案】【解析】化简，根据幂函数的单调性和图象比较大小，再根据对数函数可知，最后比较的大小关系，【详解】解析：因为，，在定义域内单调递增， 故，又，故.故答案为：【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点是判断所属函数类型，利用单调性比较大小，或是和特殊值比较，属于基础题型.15．已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_____________；当时，的值域为___________.【答案】        【解析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算的范围，计算函数的值域.【详解】因为，可得，函数向左平移个单位后得到 ，因为函数是偶函数，所以，，因为，所以，所以；当时，，所以的值域为.故答案为：；【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.16．已知三棱锥中，平面平面，.设直线与平面所成的角为，则的最大值为__________.【答案】【解析】利用余弦定理求出是直角三角形，过点作，垂足为，易得，连接，可得平面，进而可得，设，，即，由，利用余弦定理可得：，化简配方即可求解.【详解】由已知易得是直角三角形，过点作，垂足为，易得，连接，因为平面平面，由面面垂直的性质定理，可得平面，所以，，可知当取最小值时，最大.设，，则.因为，所以，即，所以，可得当时，取得最小值，最小值为，即的最小值.所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题. 四、解答题17．数列中，，，为的前项和.（1）若，求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前项和公式求；（2）由（1）可知，代入后，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由得数列是首项，公比的等比数列；由得.得，解得.所以的值为.（2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列.可得.所以，数列的前项和.【点睛】本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18．新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在地区随机抽取了位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于元的被调研居民中，随机抽取位给予奖品，求这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；（3）若地区有万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额.【答案】（1）（2）（3）元【解析】（1）根据频率和为1计算的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在元的有4人，消费总金额在的有1人，采用编号列举的方法，计算这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；（3）首先计算估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.【详解】（1）由，得.（2）设事件为“这位‘线上买菜’消费总金额均低于元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在元的有人，分别记为，，，被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在的有人，记为，从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于元的居民中随机抽取人进一步调研，共包含个基本事件，分别为，，，，，，，，，，事件包含个基本事件，分别为，，，，，，则这位线上买菜消费总金额均低于元的概率.（3）由题意，可得估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为估计低于平均水平一半的频率为，所以估计投放电子补贴总金额为元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.19．如图，正三棱柱的所有棱长都为，是的中点，在边上，.（1）证明：平面平面；（2）若是侧面内的动点，且平面.①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；②求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②【解析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以平面；（2）①要总有平面，即作出过点的平面，使其与平面平行；②根据①的面面平行可转化为，再利用等体积转化求解.【详解】解：（1）在正三棱柱中，因为平面，平面，所以在等边中，是的中点，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）①取的中点，的中点，连接，则点的轨迹就是线段.②因为平面，所以.……由（1）得平面，又因为，所以.故三棱锥的体积为.【点睛】本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、三棱锥的体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考査化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.20．在平面直角坐标系中，已知，点满足以为直径的圆与轴相切.（1）求的轨迹的方程；（2）设直线与相切于点，过作的垂线交于，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）设，利用，化简求轨迹方程；（2）设，分别求直线和直线的方程，求交点的坐标，再利用坐标表示.【详解】（1）设，则的中点为，由题意，得，从而得整理，得，所以的方程为.（2）设，则的斜率，故直线的方程为，又，故可得的方程为，由解得，又，所以，故为定值.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考査化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.21．已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若是的唯一极值点，求的取值范围.【答案】（1）增区间是，减区间是（2）【解析】（1）利用导数，求函数的单调区间；（2）首先求函数的导数，令，转化为函数没有变号零点，求的取值范围.【详解】解：（1）由题意可得当时，，因为，所以所以时，，时，.所以的增区间是，减区间是.（2），令则，当，，当，，所以在递减，在递增，所以①当，即时，恒成立，故时，；时，故在递增，在递减，所以是的唯一极值点，满足题意.②当.即时，在递减，在递增，.故时，，得；时，，得故在递增，在递减所以是的唯一极值点，满足题意.③当，时，，，令，则，，令，，令，，，故在递增，故故在递增，，故所以在存在唯一零点，设为，当时，，得；当时，，得，所以在递减，递增，所以也是的极值点，所以不符合题意综上所述，的取值范围是（注：①②可合并）【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和极值点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）已知点在上，，求的面积的最大值.【答案】（1）（且）；（2）.【解析】（1）将直线化为普通方程，与直线联立消去，得的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设，，根据三角形的面积公式可得，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由，消去参数得的普通方程，设，由题意得消去得的普通方程.把，代入上式，，可得的坐标方程为（且）.（2）由题意可设，，，所以当，即时，的面积取得最大值，其最大值为.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.23．已知关于的不等式的解集为.（1）求的最大值；（2）在（1）的条件下，若，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）当时，解得；当时，分离参数可得，令，只需，根据绝对值的几何意义求出即可； （2）由（1）可得，即，从而，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）当时，恒成立，此时.当时，原不等式可等价转化为.令，则原不等式恒成立，只需.因为，当且仅当或时，“=”号成立，所以，即.综上知，的最大值.（2）由（1）可得，即.因为，所以，.当且仅当，即时“=”成立，所以的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.