2020届高考冲刺高考仿真模拟卷（四） 数学（理）（解析版）

2020高考仿真模拟卷(四)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　)
A．[－，] B．[－1，]
C．∅ D．(－1，]
答案　B
解析　因为集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，N＝{x|y＝}＝{x|－≤x≤}，则M∩N＝[－1，]．
2．设命题p：∃x∈Q,2x－ln x<2，则綈p为(　　)
A．∃x∈Q,2x－ln x≥2 B．∀x∈Q,2x－ln x<2
C．∀x∈Q,2x－ln x≥2 D．∀x∈Q,2x－ln x＝2
答案　C
解析　綈p为∀x∈Q,2x－ln x≥2.
3．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f＝(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
答案　A
解析　设f(x)＝xα(α为常数)，
∵满足＝3，∴＝3，∴α＝log23.
∴f(x)＝x log23，则f＝2－log23＝.
4．已知下列四个命题：①存在a∈R，使得z＝(1－i)(a＋i)为纯虚数；②对于任意的z∈C，均有z＋∈R，z·∈R；③对于复数z1，z2，若z1－z2>0，则z1>z2；④对于复数z，若|z|＝1，则z＋∈R.其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　①z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，若z为纯虚数，则a＋1＝0,1－a≠0，得a＝－1，故①正确；
②设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，那么z＋＝2a∈R，z·＝a2＋b2∈R，故②正确；
③令z1＝3＋i，z2＝－2＋i，满足z1－z2>0，但不满足z1>z2，故③不正确；
④设z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b不同时为0，由|z|＝1，得a2＋b2＝1，则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝2a∈R，故④正确．
5．(2019·安徽江淮十校第一次联考)勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的．其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图所示，现要在勒洛三角形中随机取一点，则此点在正三角形ABC内的概率为(　　)

A． B．
C． D．
答案　B
解析　可令BC＝2，则以B为圆心的扇形面积S扇形ABC＝＝，△ABC的面积S△ABC＝×2×2×＝，由题图可知，勒洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC的面积，即×3－2＝2π－2，
所以在勒洛三角形中随机取一点，此点在正三角形ABC内的概率是＝，故选B.
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，－a5成等差数列，则＝(　　)
A．3 B．9
C．10 D．13
答案　C
解析　因为a6,3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，设等比数列{an}的公比为q，则6a4＝a4q2－a4q，解得q＝3或q＝－2(舍去)，所以＝＝1＋q2＝10.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2,0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　由左焦点为F1(－2,0)，可得c＝2，即a2－b2＝4，
过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x＋2)，
圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，
由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，
可得2＝b，解得b＝2，a＝2，
则椭圆的标准方程为＋＝1.
8．(2019·北京东城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为A，C(－1,0)，若∠BOC＝，则cos(β－α)的值是(　　)

A． B．
C． D．
答案　C
解析　依题意，得cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，所以cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝－×＋×＝.故选C.
9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行该程序框图，则输出的n＝(　　)

A．50 B．53
C．59 D．62
答案　B
解析　模拟程序运行，变量n值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n＝53.
10．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案　C
解析　因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，
所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，
因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.选C.
11．已知数列{an}，定义数列{an＋1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”，若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an＋1－2an＝2n＋1，且a1＝2，若数列{an}的前n项和为Sn，则S33＝(　　)
A．238＋1 B．239＋2
C．238＋2 D．239
答案　B
解析　根据题意，得an＋1－2an＝2n＋1，a1＝2，
∴－＝1，
∴数列是首项为1，公差d＝1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n·2n，
∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
∴－Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1，
＝－n·2n＋1＝－2＋2n＋1－n·2n＋1
＝－2＋(1－n)2n＋1，
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2，
S33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.
12．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为，所以其面积为S＝6××2＝.故选A.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．
答案　660
解析　根据题意，设高三年级抽取x人，
则高一抽取(180－x－65)人，
由题意可得2(180－x－65)＝x＋65，解得x＝55.
高一学生有720人，
则高三年级学生人数为720×＝660.
14．(2019·江苏南通高三模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________．
答案　
解析　由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，
得
或不等式组表示的平面区域如图所示，

x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，又原点到x＋y－2＝0的距离为d＝＝，原点到x－2y＋3＝0的距离为d＝＝＝，
所以x2＋y2的最小值为2＝.
15．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若·＝0，△PF1F2的面积为9，且a＋b＝7，则该双曲线的离心率为________．
答案　
解析　设||＝m，||＝n，
∵·＝0，△PF1F2的面积为9，
∴mn＝9，即mn＝18，
∵在Rt△PF1F2中，根据勾股定理，得m2＋n2＝4c2，
∴(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝4c2－36，
结合双曲线的定义，得(m－n)2＝4a2，
∴4c2－36＝4a2，化简整理，得c2－a2＝9，即b2＝9，
可得b＝3.结合a＋b＝7得a＝4，∴c＝＝5，
∴该双曲线的离心率为e＝＝.
16．(2019·北京东城综合练习一)设函数f(x)＝若a＝1，则f(x)的最小值为________；若f(x)有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案　0　[0，＋∞)
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－2x，x<1，f′(x)＝ex－2，由f′(x)>0，得ln 20，所以f(x)的最小值为0.
(2)①当a<0时，由(1)知f(x)＝ex－2x，xf(a)；f(x)＝ax－1(x≥a)单调递减，故f(x)≤f(a)，故f(x)无最小值，舍去．②当a＝0时，f(x)最小值为－1，成立．③当a>0时，f(x)＝ax－1(x≥a)单调递增，故f(x)≥f(a)；对f(x)＝ex－2x，x 当0f(a)，此时f(x)＝最小值在x＝a处取得，成立．
当a>ln 2，由(1)知f(x)≥f(ln 2)，此时f(x)＝最小值为min{f(ln 2)，f(a)}，即f(x)有最小值．
综上a≥0.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
解　f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝cos2x＋sin2x＝sin.2分
(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).4分
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).5分
(2)由f(A)＝sin＝可得，2A＋＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，所以A＝，7分
又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c，而·＝bccosA＝bc＝9，所以bc＝18，9分
所以cosA＝＝－1＝－1＝－1，所以a＝3.12分
18．(2019·云南昆明1月诊断测试)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一点．

(1)若PA∥平面BDE，证明：PE＝EC；
(2)在(1)的条件下，棱PB上是否存在点M，使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°？若存在，求PM∶MB的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)证明：连接AC交BD于点F，连接EF，则EF是平面PAC与平面BDE的交线．因为PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，所以PA∥EF.又因为F是AC的中点，所以E是PC的中点．所以PE＝EC.4分

(2)由已知条件可知AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，C(－2,2,0)，E(－1,1,1)，＝(－1,1,1)，＝(0,2,0)．
假设在棱PB上存在点M，设＝λ(0≤λ≤1)，
得M(0,2λ，2－2λ)，＝(0,2λ，2－2λ)．
记平面BDE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取z1＝1，则x1＝1，
所以n1＝(1,0,1).8分
要使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°，
则＝sin30°，
即＝，
解得λ＝∈[0,1]．
所以在棱PB上存在点M使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°.即PM∶MB＝1∶1.12分
19．(2019·湖南师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(2，－)，右焦点F是抛物线y2＝8x的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点．试问x轴上是否存在定点Q，使得·＝－恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)因为椭圆C过点(2，－)，所以＋＝1，又抛物线的焦点为(2,0)，则c＝2，
所以＋＝1，
解得a2＝3(舍去)或a2＝16.
所以椭圆C的方程为＋＝1.4分
(2)假设在x轴上存在定点Q(m,0)，
使得·＝－.
①当直线l的斜率不存在时，则M(2,3)，N(2，－3)，＝(2－m,3)，＝(2－m，－3)，
由·＝(2－m)2－9＝－，
解得m＝或m＝；
②当直线l的斜率为0时，则M(－4,0)，N(4,0)，＝(－4－m,0)，＝(4－m,0)，
由·＝m2－16＝－，
解得m＝－或m＝.
由①②可得m＝，即点Q的坐标为.7分
下面证明：当m＝时，·＝－恒成立．
当直线l的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立．
当直线l的斜率存在且不为0时，设方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线与椭圆联立得(3＋4k2)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝k(x1－2)·k(x2－2)＝k2x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2，8分
所以·＝·
＝x1x2－(x1＋x2)＋＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋4k2
＝(1＋k2)－＋＋4k2
＝－恒成立．
综上所述，在x轴上存在点Q，使得·＝－恒成立.12分
20．(2019·福建龙岩5月月考)(本小题满分12分)国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0 (1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f(p)，求f(p)；
(2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．
解　(1)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为Cp2(1－p)＋Cp3，
一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为Cp(1－p)2[1－(1－p)2]，2分
所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f(p)＝Cp2(1－p)＋Cp3＋Cp(1－p)2[1－(1－p)2]＝3p2(1－p)＋p3＋3p(1－p)2[1－(1－p)2]＝－3p5＋12p4－17p3＋9p2.4分
(2)设每篇学位论文的评审费为X元，则X的可能取值为900,1500.
P(X＝1500)＝Cp(1－p)2，
P(X＝900)＝1－Cp(1－p)2，
所以E(X)＝900×[1－Cp(1－p)2]＋1500×Cp(1－p)2＝900＋1800p(1－p)2.7分
令g(p)＝p(1－p)2，p∈(0,1)，g′(p)＝(1－p)2－2p(1－p)＝(3p－1)(p－1)．
当p∈时，g′(p)>0，g(p)在上单调递增，当p∈时，g′(p)<0，g(p)在上单调递减，所以g(p)的最大值为g＝.10分
所以实施此方案，最高费用为100＋6000××10－4＝800(万元)．
综上，若以此方案实施，不会超过预算.12分
21．(2019·陕西榆林二模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x.
(1)若函数g(x)＝－，求g(x)的极值；
(2)证明：f(x)＋1 (参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，e≈4.48，e2≈7.39)
解　(1)因为g(x)＝－＝－(x>0)，
所以g′(x)＝，当x∈(0，e2)，g′(x)>0，
当x∈(e2，＋∞)，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2，＋∞)上单调递减，
∴g(x)在x＝e2取得极大值，极大值为，无极小值.4分
(2)证明：要证f(x)＋1＜ex－x2.即证ex－x2－xln x－1＞0，先证明ln x≤x－1，5分
取h(x)＝ln x－x＋1，则h′(x)＝，易知h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故h(x)≤h(1)＝0，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”，故xln x≤x(x－1)，ex－x2－xln x－1≥ex－2x2＋x－1，
故只需证明当x＞0时，ex－2x2＋x－1＞0恒成立，7分
令k(x)＝ex－2x2＋x－1(x≥0)，
则k′(x)＝ex－4x＋1，
令F(x)＝k′(x)，则F′(x)＝ex－4，
令F′(x)＝0，解得x＝2ln 2，
因为F′(x)单调递增，故x∈[0,2ln 2]时，F′(x)≤0，F(x)单调递减，
即k′(x)单调递减，x∈(2ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，即k′(x)单调递增，
且k′(2ln 2)＝5－8ln 2＜0，k′(0)＝2＞0，k′(2)＝e2－8＋1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈(0,2ln 2)，∃x2∈(2ln 2，2)，
使得k′(x1)＝k′(x2)＝0，故0＜x＜x1或x＞x2时，k′(x)＞0，k(x)单调递增，当x1＜x＜x2时，k′(x)＜0，k(x)单调递减，故k(x)的最小值是k(0)＝0或k(x2)，由k′(x2)＝0，得e＝4x2－1，10分
k(x2)＝e－2x＋x2－1＝－(x2－2)(2x2－1)，
因为x2∈(2ln 2,2)，所以k(x2)＞0，
故x＞0时，k(x)＞0，即ex－x2－xln x－1>0，所以原不等式成立.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(2019·福建省师大附中模拟)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a(a>0且a≠1)，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；
(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4＋2，求a的值．
解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
由＝a，得∴
∵M在C1上，∴
即(θ为参数)，
消去参数θ得(x－2a)2＋y2＝4a2(a≠1)，
∴曲线C2是以(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆.5分
(2)解法一：A点的直角坐标为(1，)，
∴直线OA的普通方程为y＝x，即x－y＝0，
设B点的坐标为(2a＋2acosα，2asinα)，
则B点到直线x－y＝0的距离
d＝
＝a，
∴当α＝－时，dmax＝(＋2)a，
∴S△AOB的最大值为×2×(＋2)a＝4＋2，
∴a＝2.10分
解法二：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－2a)2＋y2＝4a2并整理得，
ρ＝4acosθ，令θ＝α得ρ＝4acosα，
∴B(4acosα，α)，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB
＝4acosα·
＝a|2sinαcosα－2cos2α|
＝a|sin2α－cos2α－|＝a.
∴当α＝－时，S△AOB取得最大值(2＋)a，
依题意，有(2＋)a＝4＋2，∴a＝2.10分
23．(2019·上饶三模)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x－1|＋|3x＋k|，g(x)＝x＋4.
(1)当k＝－3时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)设k>－1，且当x∈时，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围．
解　(1)当k＝－3时，f(x)＝
故不等式f(x)≥4可化为或
或解得x≤0或x≥，
∴所求解集为.5分
(2)当x∈时，由k>－1，有3x－1<0,3x＋k≥0，
∴f(x)＝1＋k，
不等式f(x)≤g(x)可变形为1＋k≤x＋4，
故k≤x＋3对x∈恒成立，
即k≤－＋3，解得k≤，
而k>－1，故－1 ∴k的取值范围是.10分