2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出集合，集合中元素的范围，然后求交集即可.

【详解】

解：由已知，

，

，

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，是基础题.

2．已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【详解】

为纯虚数.

则

所以

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．

3．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．

【详解】

都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可得出的欧拉线的方程．

【详解】

因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上

，，则的中点为

,

所以的垂直平分线的方程为：，即.

故选：D

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．

5．淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（    ）

A．960 B．1080 C．1560 D．3024

【答案】B

【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可.

【详解】

解：一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，

则至多有一盆菊花的摆法种数为，

故选：B.

【点睛】

本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题.

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由得到为偶函数，所以当时，，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.

【详解】

因为，

所以为偶函数, 则当时，.

此时，

当时，    当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

在上，当时函数有最小值..

由为偶函数，根据选项的图像C符合.

故选：C

【点睛】

本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.

7．在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（    ）

A．17 B．10 C． D．

【答案】D

【解析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案.

【详解】

取的中点，连接，

因为为的外心，，

，

，

，

同理可得，

故选：D.

【点睛】

本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.

8．已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（    ）

A． B． C．7 D．70

【答案】C

【解析】令，可得，将展开式中的奇数项求出来，观察大小即可得答案.

【详解】

解：令得，，，

的展开式通项公式为，

要求展开式中项的系数的最大值则必为偶数，

，

故选：C.

【点睛】

本题考查二次项定理的应用，其中赋值法求出很关键，是基础题.

9．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.

【详解】

双曲线的焦点在轴上，则；
设，由双曲线的定义可知：，
由题意可得：，
据此可得：，又 ，∴，
由正弦定理有:,即

所以，解得：，

所以的周长为：

=

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

10．已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】通过条件可得，，结合，可求出，即可得，令，求出的范围即为函数的单调递增区间.

【详解】

解：由已知，得，，

又，，

，即，，

，①；

又，

所得图象关于轴对称，，

，，将①代入消去得，，

，

时，，

，

，

令，，

，，

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.

11．已知是函数的极值点，数列满足，，，记表示不超过的最大整数，则（    ）

A．1008 B．1009 C．2018 D．2019

【答案】A

【解析】利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可.

【详解】

解：，是函数的极值点，
可得：，

即，
累加可得，

，
则.
故选：A.

【点睛】

本题考查数列递推式求通项公式，以及数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

12．己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，方程有三个不相等的实根，令，利用导数研究函数的单调性及最值情况，再分类讨论得解.

【详解】

解：方程即为，

则方程有三个不相等的实根，
令得①，且，
∴函数在上单增，在上单减，

故，且时，，时，
∴方程①的两个根的情况是：
（i）若，则与的图象有四个不同的公共点，不合题意；
（ii）若且或，则与的图象有三个不同的公共点，

令，则，，此时另一根为，舍去；

令，则，，此时另一根为，舍去；
（iii）若且，则与的图象有三个不同的公共点，

令，则，解得.
故选：C.

【点睛】

本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知，，则的值为______．

【答案】

【解析】根据角的范围，先求出的值，然后用角变换可求解.

【详解】

由，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.

14．若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为__________

【答案】

【解析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数得出取最优解时点的坐标，再根据分析列出含有参数的方程组，由最小值求出的值.

【详解】

解：不等式组表示的可行域如图所示：必有

，
，
；
由图可得，当目标函数过点时，有最小值；
，
解得，
故答案为：.

【点睛】

本题考查了约束条件中含有参数的线性规划问题，解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），解出代入目标式，即可求出参数的值.

15．已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________

【答案】

【解析】通过题目发现，然后利用倒序相加法求出，将转化为，展开，利用基本不等式即可求得最值.

【详解】

解：，

，

，

两式相加得：，，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现以及倒序相加求和，难度不大.

16．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为____________

【答案】

【解析】由题意不妨设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，然后结合可得，结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求，然后根据求面积即可.

【详解】

解：解：由题意不妨设直线的方程为，
联立方程可得，，
设，
∵，
，
，
则，
，即，
，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的关键是坐标关系的应用，属于中档试题.

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得，可得答案.|
（Ⅱ）由条件为等边三角形，则，由余弦定理得，，可得，从而得到三角形的面积.

【详解】

（Ⅰ）∵，由正弦定理可得，

又A是内角，∴，∴

∵，∴．

（Ⅱ）根据题意，为等边三角形，又．

在中，由于余弦定理得，，

解得，，∴，．

∴的面积．

【点睛】

本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.

18．已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）．（2）

【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列的通项公式，根据条件中的递推式求出，利用它们成等差数列列方程求出，进而可得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前项和.

【详解】

解：（1）由条件可知，，.

，， ，.

由题意为等差数列，，解得，

；

（2）由（1）知，，

①

则②

①-②可得，

.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解，考查错位相减法求和，是基础题.

19．2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：

（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．

附：（1）相关系数

（2），，，．

【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）

【解析】（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；

（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.

【详解】

解：（1）由题意可知，

，

由公式，

，∴与的关系可用线性回归模型拟合；

（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为

，，，

由题意， ，

.

【点睛】

本题考查相关系数的求解，考查二项分布的期望，是中档题.

20．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为和的周长为12可得，可求椭圆方程.
（Ⅱ）的中点为,由条件有，即,设，用直线的斜率把表示出来，可求解其范围.

【详解】

（1）由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为.

（2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，

故，所以，

因为，所以，即，所以

当时，，所以；

当时，，所以

综上：m取值范围是或.

【点睛】

本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.

21．已知函数，在区间有极值．

（1）求的取值范围；

（2）证明：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）在区间有极值转化为在区间上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究在[1,2]上的单调性即可；

（2）将证明转化为证明.先证，然后再证，进而可得.

【详解】

解：（1）由 得，

当即时，，所以在[1,2]上单调递增，无极值；

当即时，，所以在[1,2]上单调递减，无极值；

当即，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，

；

（2）要证成立，只需证成立，即证，

先证：.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以，则，即①，

再证：.设，则.所以在上单调递增，则，即.因为，所以②，

由①②可，所以.

【点睛】

本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.

22．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．

【答案】(1),；(2)．

【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.

试题解析：

（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为

（2）将代入

得得， 所以

因为的半径为1，则的面积为

【考点】坐标系与参数方程.

23．    已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].

【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围

试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．                 6分

（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|

－2－a≤x≤2－a，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．

【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数