2020届安徽省黄山市高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）试题
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黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式 球的体积公式第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1. 已知复数满足,则A. 5 B. 3 C. D. 2. 设U＝R，A＝，B＝，则＝ A． B． C． D．3. 已知，，，则A． B． C． D．4. 函数的大致图象为 5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A. B. C. D. 6．将向量绕原点O顺时针方向旋转75°得到，则＝A． B． C． D．7. 已知数列满足，数列的前 项和为，则=A． B． C． D．8. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是A． B． C． D． 9. 函数在内单调递增，且图象关于直线对称，则的值为 A. B. C. D. 10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为A．2 B．4 C．6 D．811.已知函数有4个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D． 12.如图，,分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）13. 已知函数则 .14. 已知实数满足约束条件，则的最大值为 .15. 函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）17.（本小题满分12分）已知在中,角,,所对的边分别为,,,且,（1）求角的大小; （2）若,求的取值范围. 18.（本小题满分12分）田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示: 上等马 中等马 下等马上等马0.50.81中等马0.20.50.9下等马00.050.4比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望. 19．（本小题满分12分）已知是以为直径的圆周上一点，，平面（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成的为，求二面角的余弦值。
20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，过点。（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标。 21．（本小题满分12分）函数， （1）求的单调区间；（2）在函数的图象上取，两个不同的点，令直线的斜率为，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存在，求，两点的坐标，若不存在，说明理由。
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线。以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于，两点，求的取值范围. 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数（1）解不等式;（2）若恒成立,求的取值范围. 黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）解: （1）由则 …………………………………………………………3分所以 而 故 ………………6分（2）由 且 所以 ……………………………………………10分又 所以的取值范围是 …………………………………………………12分18. （本小题满分12分）解： （1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，故 ……………………………………………………………………4分（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为和。若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 ………………………………………………………………………………6分设在该月的比赛中田忌获胜的概率为，则 …………8分 ……………………………………………10分因此田忌一年赛马获利的数学期望为（金） …………………12分19.（本小题满分12分）（1）证明：因为为圆的直径，所以，又平面，而平面，所以，又,所以平面，而平面，所以平面平面 ……………………5分（2）解法1：建系如图所示，令，而，则,，则，,，令所以，，因为异面直线与所成的角为，故，解得令平面的一个法向量为，而，由,,所以由，所以，即而平面的一个法向量为所以解法2：过作的平行线交圆于，连接，，所以直线与所成的角即为与所成的角，因为为圆的直径，所以，又平面，而平面，所以又,所以平面而平面，所以，则令，且所以，，，,过作交于，过作交于,连接，由三垂线定理知，所以即为二面角的平面角 ……………………………………8分， ， 即为二面角的余弦值为 ……………………………………12分20. （本小题满分12分）解： （1）由题知 解得，，所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4分（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：由 得则，， …………………………………………6分因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则则，故的方程为： ……………………8分由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则而，，所以故直线恒过定点，且定点为 ………………………………………12分21.（本小题满分12分）解： （1）由题知定义域为， ………………1分①当时，，令，解得，，解得即函数在上单调递增，在 及上单调递减；②当时，，在上，即函数在上单调递减；③当时，令，解得，，解得即函数在上单调递增，在 及上单调递减；④当时，令，解得，，解得即函数在上单调递增，在 上单调递减； …………………………5分综上所述：当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为，增区间为； ……………………………………6分（2）假设存在，即满足因为已知，不妨令则 而由得存在，也就是证存在 …………9分只要证存在，令，故转化为存在即需要证明令则有故在上单调递增，所以，故不存在。 ………………………………………………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）的参数方程：（为参数） …………………………………2分曲线的直角坐标方程： ………………………………………………5分（2）将的参数方程代入曲线的方程得 ①由于恒成立，所以方程①有两个不等实根，由于，所以异号则 …10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当，则 当时，则 当时，则，此时无解故解集为 ……………………………………………………5分（2）由（1）知，所以当时，的最小值为，则 所以 ……………………………………………10分
