2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合,，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对集合和进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.

【详解】

集合

，即，

解得，

所以集合.

集合，

，，

解得，

所以集合，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.

2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据得到的值，从而得到复数，在得到复数的共轭复数.

【详解】

因为，

所以，

所以，解得，

所以

所以复数的共轭复数为.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.

3．已知命题，，则命题的真假以及命题的否定分别为（    ）

A．真，，

B．真，，

C．假，，

D．假，，

【答案】B

【解析】根据命题，当时，判断出命题为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题的否定.

【详解】

命题，，

当时，，

所以命题为真命题；

命题的否定为：，.

故选：B.

【点睛】

本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.

4．已知向量，，若，且，则实数的值为（    ）

A．2 B．4 C．或2 D．或4

【答案】C

【解析】根据已知得到的坐标，然后根据，得到关于，的方程组，从而得到答案.

【详解】

向量，，

所以，

因为，，

所以，解得或

所以的值为或.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.

5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据框图得到和的变化规律，根据输出的的值为，得到时的值，从而得到判断语句，得到答案.

【详解】

根据框图可知，

，

，，

，

要使的输出值为，此时，

所以判断框内的语句可以为.

故选：B.

【点睛】

本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题.

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案.

【详解】

.

故选：A.

【点睛】

本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.

7．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于对称

B．函数的图象关于对称

C．函数的图象关于中心对称

D．函数的图象关于中心对称

【答案】D

【解析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案.

【详解】

函数，

所以，解得

即函数的定义域为，

若函数的对称中心横坐标为，或者对称轴为，

则

此时得到

所以不是关于对称，

.

所以函数关于成中心对称.

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题.

8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据平移，得到平移后的解析式，然后由对称轴为，得到的表达式，从而得到的最小值，确定出的解析式，再求出的单调递增区间.

【详解】

函数的图象向右平移个单位，

得到，

因为图象关于对称，

所以，，

整理得，，

因为，所以当时，的最小值为，

所以，

，，

解得，，

所以的单调增区间为.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于简单题.

9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点时，取最小值，根据恒成立，得到关于的不等式，从而得到的范围，确定出答案.

【详解】

实数满足，

根据约束条件，画出可行域，如图所示，

将目标函数化为斜截式，

根据选项可知的值为正，即直线斜率大于

所以当直线过点时，

在轴上的截距最大，即最小，

解得，

即

此时

因为恒成立，所以

解得，

所以不可取的值为.

故选：A.

【点睛】

本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题.

10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体的棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.

【详解】

根据三视图还原出几何体，为三棱锥，如图所示，

根据三视图中的数据，可将几何体放入长为，宽为，高为的长方体中，

则，为长方体侧棱的中点，

所以由图可知三棱锥中，

最短棱为.

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.

11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据椭圆的离心率，求出的值，得到椭圆的标准方程，然后根据，结合，得到的坐标表示，得到关于的函数，结合的范围，得到答案.

【详解】

椭圆的，

其离心率为，所以，所以，

所以，所以椭圆标准方程为，

设，，

则

因为，所以，

所以

所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，

所以当时，取得最大值为

当时，取得最小值为，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.

12．已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，在上单调递减，将不等式两边同时乘以，变形为，不妨设，则，构造新函数，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的，恒成立，则需恒成立，即，求解即可.

【详解】

函数的定义域为

，即函数在上单调递减.

变形为

即

不妨设，则，

即

令

则

若使得对任意的，恒成立.

则需恒成立.

则恒成立.

即恒成立.

所以.

即实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.

二、填空题

13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为_____________.

【答案】253

【解析】根据，共有个数，则所求为这一行的倒数第个数，找到每一行倒数第个数的规律，从而得到所求.

【详解】

当时，共有个数，从左往右第个数即为这一行的倒数第个数，

观察可知，每一行倒数第个数（从第行，开始）

为，，，，，，

即为，，，，，，，

所以当时，左往右第个数为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.

14．多项式的展开式中，含项的系数为______.

【答案】420

【解析】先确定多项式的通项，再求二项式的通项，然后根据，求解，即可.

【详解】

多项式的通项为

由题意可知，且

若求项的系数，则需求二项式中含项

二项式的通项为：

由题意可知，且

令即

若使得且，且成立

则

则所求系数为.

故答案为：

【点睛】

本题考查二项式定理，属于中档题.

15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为_____________.

【答案】

【解析】根据已知条件，求出四棱锥中各棱的长度，四棱锥外接球的球心在平面的射影为中点，得到为中点，作，得到，，利用勾股定理得到关于的方程，解得的值，再求出半径的值，从而求出外接球的表面积.

【详解】

因为四边形为等腰梯形，

，故；因为,,

,，

，故；

取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心；

设四棱锥外接球的球心为，

所以在平面的射影为，

作于，则为中点，

因为平面平面，平面平面

所以平面，而平面，所以

由，可得在平面中，作，

则，

由，可得，

即，解得，

所以，

所以四棱锥外接球的表面积为.、

故答案为：.

【点睛】

本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.

16．如图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若，，，则四边形面积的最大值为_____________.

【答案】

【解析】设，在中，利用余弦定理，表示出，根据，得到，从而把的面积用表示，然后得到四边形面积关于的函数，从而得到其最大值.

【详解】

设，在中，

由余弦定理得

，

因为，所以，

所以，

因为，所以为等腰直角三角形，

所以

所以

，

所以当时，面积最大，最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题.

三、解答题

17．已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）根据题意得到，根据是的等差中项，得到的值，从而得到的通项公式；

（2）由（1）可知，利用等比数列的求和，得到，由恒成立，得到的取值范围.

【详解】

（1）因为数列是公差为的等差数列，

所以，故，所以；

所以数列是公比为3的等比数列，

因为是的等差中项，所以，

所以，

解得；

数列的通项公式为；

（2）由（1）可知，

故数列是以1为首项，为公比的等比数列，

，

因为恒成立，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.

18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.

（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；

（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，求的分布列及期望.

【答案】（1）（2）见解析，2

【解析】（1）甲、乙同时参加围棋比赛为相互独立事件，由于甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，则甲参加围棋比赛的概率为，乙同时参加围棋比赛的概率为，利用相互独立事件的概率乘法公式,计算即可.

（2）已知甲同学必选“中国象棋”，则甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数的可能取值为1，2，3，则乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为.分别求解，，，即可.

【详解】

（1）由题意可知，甲、乙同时参加围棋比赛的概率.

（2）由题意可知，选择“中国象棋”比赛的人数的可能取值为1，2，3；

乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为；

的分布列为：

故所求期望.

【点睛】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的概率分布列及数学期望，属于中档题.

19．如图，三棱锥中，，分别为的中点，，；连接，平面平面.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）根面面垂直的性质定理可知底面，从而证明，根据题意以及线面垂直的判定定理可知，平面，再根据线面垂直的性质定理，证明即可.

（2）以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面的法向量，平面的法向量，利用，求解即可.

【详解】

（1），平面平面

平面平面，平面

底面

又底面

，平面，平面

平面

平面

（2）由（1）可知，底面，

底面

以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由题意可知，，，，，，

即，，

，平面，平面

平面，即平面的法向量为．

设平面的法向量为，

，即，

取，则.

则

二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查由线线垂直的证明以及求二面角的余弦值，属于中档题.

20．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切，且与椭圆交于两点.探究：在椭圆上是否存在点，使得，若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】（1）根据题意列方程组， 求解即可.

（2）假设在椭圆上存在点，使得.设直线，圆心到直线的距离等于半径1，可知，整理的，直线与椭圆联立得，，设，则，，根据，表示出点，代入椭圆得，求解即可.

【详解】

（1）依题意，，故①.

将代入椭圆的方程中，可得②.

联立①②，解得

故椭圆的标准方程为.

（2）假设在椭圆上存在点，使得.

依题意，设直线，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即

整理得.

当时，不合题意，舍去；

当且时，得，把代入椭圆

的方程得：.

易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，设，

则，，

，

.

因为，故，

即的坐标为.

又因为在椭圆上，所以，

得.

把代入得；

因为，所以，，

即或，

综上所述实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系问题，属于较难的题.

21．已知函数.

（1）若函数的图象在点处的切线的斜率为，求函数在上的最小值；

（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）先求，导数的几何意义求解，利用导数求函数的最值，即可.

（2）由题意可知，若使得关于的方程在上有两个解，则需在有两个解. 令，，利用导数研究函数的极值与最值，令，求解即可.

【详解】

（1）由题意可知，，

则，即，

故；

令，即；

当时，在上单调递减.

当时，在上单调递增.

因为，，

所以

故函数在上的最小值为.

（2）依题意，；

若使得关于的方程在上有两个解

则需在有两个解.

令，．

①当时，

所以在上单调递增．

由零点存在性定理，在至多一个零点，不符合题意舍去．

②当时，令，则．

因为，，

所以要使在内有两个零点，

则即可，即，

又因为，所以

综上所述，实数的取值范围为．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值与最值，以及利用导数研究函数零点问题，属于较难的一道题.

22．在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；

（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.

【答案】（1）；； （2）.

【解析】（1）曲线的参数方程化简消参后得到普通方程，利用，对直线的极坐标方程进行化简，得到的直角坐标方程；

（2）根据变换规则，得到变换后的曲线的方程，写出其参数方程，从而得到曲线上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.

【详解】

（1）曲线的参数方程为（为参数）

所以，两式平方后相加得，

即曲线的普通方程为：.

直线的极坐标方程为，

即

，

因为，

所以直线的直角坐标方程为：

（2）曲线：向左平移2个单位，

得到，

再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的

得到，

即曲线；

所以曲线的参数方程为（为参数)，

设曲线上任一点，

则点到直线的距离为：

则(其中)，

当时，取最小值，为

所以点到直线的距离的最小值为.

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）根据题意得到，可以先确定，从而去掉绝对值，化为一次不等式，得到解集；

（2）分和，得到的分段形式，从而得到其最小值，然后根据恒成立，得到关于的不等式，解得的范围.

【详解】

（1）当时，不等式，即，

因为，所以，

所以由，得，

解得，

故不等式的解集为；

（2）依题意，当，，

故，

因为不等式恒成立，

所以，解得；

当时，，

故，

因为不等式恒成立，

所以，解得；

综上所述，实数的值为.

【点睛】

本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.