2020年甘肃省高三第一次高考诊断考试理科数学试题
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理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，则AUB=（ ）
A．（-1，0） B．（0，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1）
2．已知：，则=（ ）
A．5 B． C．13 D．
3．已知平面向量满足，且，则=（ ）
A．3 B． C． D．5
4．已知抛物线经过点，焦点为F．则直线MF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A B C D
6．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）
A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月
8．设是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③若，，，则；
④若，，，．则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9．定义在R上的偶函数，对．且，有成立，已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
11．若的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）
A．85 B．84 C．57 D． 56
12．若函数有且只有4个不同的零点．则实数m的取值范围是（ ）
A． B C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．实数x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为 ．
14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cosB +sinB-2 =0，且b=1，则△ABC周长的范围为 ．
16．1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照右面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm（排球的直径约为21cm）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
数列{an}满足a1=1，an是-1与an+1的等差中项.
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an+2n}的前n项和Sn。
18．（本题满分12分）
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．
（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）
某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为， ，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时．
（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E（ξ）；
（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额。
20．（本题满分12分）
椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（ ，0），过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形OMAN面积的最大值．
21． （本题满分12分）
已知函数（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）单调性；
（2）当a= -2时，求证：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22．23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所
选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按
所答第一题评分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系．曲线的参数方程为：（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：．
