2020年甘肃省高三第一次高考诊断考试文科数学试题

2020年甘肃省第一次高考诊断考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，，则=（   ）

A．（-1，0）          B．（0，1）           C．（-1，+∞）          D．（-∞，1）

2．已知：，则=（   ）

A．           B．              C．               D．

3．某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（   ）

A．20                    B．16                   C．14                  D．12

4．已知平面向量满足，且，则=（   ）

A．5                  B．                C．                 D．3

5．已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为（   ）

A．        B．           C．          D．

6．已知，则=（   ）

A．                B．                  C．                 D．

7．为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为（   ）

A．0.7                 B．0.6                     C．0.4                D．0.3

8．已知，则的大小关系为（   ）

A．a＞b＞c             B．b＞c＞a                C．c＞b＞a           D．c＞a＞b

9．已知抛物线经过点，焦点为F．则直线MF的斜率为（   ）

A．                 B．                C．                  D．

10．侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若E为侧棱PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为（   ）

A．                 B．                   C．                  D．

11．在中，角对边分别为，若，且，则的周长是（   ）

A．            B．                C．                   D．

12．若函数为奇函数（其中为常数），则不等式的整数解的个数是（   ）

A．1011                 B．1010                    C．2020                   D．2021

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在处的切线方程为             ．

14．实数满足约束条件，则的最大值为               ．

15．设是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，．则．

其中正确的是                        （填序号）．

16．设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数的最小值为         ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）

数列满足是与的等差中项.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（本题满分12分）

    某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．

（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：

根据以上数据能否有95%的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？

（参考公式，其中）

（2）在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分10分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于9.5分）、“满意”（分数不低于平均分且低于9.5分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别. 先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．

19.（本题满分12分）

如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．

（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；

（2）求点B到该平面的距离．

20.（本题满分12分）

椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（，0），过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（2，0）的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，若，求的面积．

21．（本题满分12分）

函数.

（1）若，判断函数的单调性；

（2）当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系，曲线的参数方程为：（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.

23.（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲

已知函数，不等式的解集为.

（1）求实数的值；

（2）若，求证：．