2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 4 （解析版）

2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 4 （解析版）(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2}，N＝{0,1,3}，则M∩N＝(　　)A．{1}   B．{0,1}C．{1,2}   D．{1,2,3}A　[由题得M∩N＝{1,2}∩{0,1,3}＝{1}．]2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝(　　)A．1   B．2C．3   D．5C　[设等差数列{an}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0”不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0，即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2,3的直线方程是(　　)A．2x－3y－6＝0   B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0   D．2x－3y＋6＝0C　[由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x－2y＋6＝0.]5．已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系(　　)A．一定是异面   B．一定是相交C．不可能平行   D．不可能垂直C　[a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C.]6．在平行四边形ABCD中，＋等于(　　)A.  B.  C.  D．||A　[＋＝＋＝.]7．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝x的位置关系是(　　)A．相交   B．相切C．相离   D．直线过圆心A　[由圆的方程得圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，因为(1,0)到直线y＝x的距离d＝＝<1，所以圆与直线的位置关系为相交．]8．方程x3－2＝0的根所在的区间是(　　)A．(－2,0)   B．(0,1)C．(1,2)   D．(2,3)C　[∵x3－2＝0，∴x3＝2，故x＝，∵y＝是增函数，∴<<，1<<2，即方程x3－2＝0的根所在的区间是(1,2)，故选C.]9．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是(　　)A．①  B．②  C．③  D．④C　[其俯视图若为圆，则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样，由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样，因此其俯视图不可能是圆．故选C.]10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)A．0.7  B．0.65  C．0.35  D．0.3C　[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，根据对立事件的概率和为1，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]11．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是(　　)A．(－2,0)   B．(0,1)C．(1,2)   D．(2,3)C　[∵f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0，∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)在(1,2)上是连续的，故f(x)的零点所在的一个区间为(1,2)．故选C.]12．已知点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是(　　)A.   B.C.   D．1B　[作出平面区域如图，则|PA|的最小值为A(0,1)到直线x－y＝0的距离d＝＝.]13．将函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．y＝f(x)的最小正周期为πB．y＝f(x)是偶函数C．y＝f(x)的图象关于点，0对称D．y＝f(x)在区间0，上是减函数D　[将函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)＝cosx＋＝－sin x的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A，B，C错误，D正确．故选D.]14．求值：sin 45° cos15°＋cos 45°sin 15°＝(　　)A．－  B．－  C.  D.D　[sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝.]15．已知函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f(x)在区间[－2，－1]上是(　　)A．单调递减函数，且有最小值－f(2)B．单调递减函数，且有最大值－f(2)C．单调递增函数，且有最小值f(2)D．单调递增函数，且有最大值f(2)B　[因为函数f(x)是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，由函数的奇偶性性质知，奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f(x)在区间[－2，－1]上是单调递减函数．当x＝－2时，有最大值，f(－2)＝－f(2)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．执行如图所示的程序框图，若输入x的值是5，则输出y的值是________．0．5　[阅读程序框图，可得该程序的功能是求分段函数的函数值，分段函数的解析式为f(x)＝，因为输入x的值是5，5>3，所以f(5)＝0.1×5＝0.5.]17．若函数f(x)＝loga(x＋m)＋1(a>0且a≠1)恒过定点(2，n)，则m＋n的值为________．0　[f(x)＝loga(x＋m)＋1过定点(2，n)，则loga(2＋m)＋1＝n恒成立，∴⇒∴m＋n＝0.]18．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是________．(0,3)∪　[当焦点在x轴上时，e＝∈，∴∈，∴k∈；当焦点在y轴上时，e＝∈，∴k∈(0,3)．故实数k的取值范围是(0,3)∪.]19．已知x∈[0，π]，且3sin＝，则tan＝________.　[由于0≤x≤π，所以0≤≤，故sin≥0，cos≥0.所以＝＝sin＋cos，即sin＋cos＝3sin，即cos＝2sin，故tan＝＝.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．(本小题满分12分如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．(1)求证：MB∥平面AC1N；(2)求证：AC⊥MB.[证明]　(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M＝BN，所以MC1NB是平行四边形，所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N.(2)因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB.21．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表： 第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016(1)用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？ (2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．[解]　(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则t1＝＝10(小时)，t2＝≈10.9(小时)，据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：×10＝2，来自乙组的人数为：×20＝4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a，b)，(a，c) ，(a，d) ，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共9种，故所求的概率P＝＝.