2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 5 （解析版）

2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 5 （解析版）

(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝(　　)

A．(3,1)   B．(－3,7)

C．(3，－7)   D．(1，－1)

B　[a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．]

2．等差数列{an}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

D　[公差为d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.]

3．已知集合P＝{y|y＝x2＋2x－1，x∈N}，Q＝{y|y＝－x2＋2x－1，x∈N}，则(　　)

A．P∩Q＝∅   B．P∩Q＝{－1}

C．P∩Q＝{0}   D．P∩Q＝N

B　[由x2＋2x－1＝－x2＋2x－1得x＝0，∵当x＝0时，x2＋2x－1＝－x2＋2x－1＝－1，∴P∩Q＝{－1}，故选B.]

4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝－x   B．y＝cos x

C．y＝x   D．y＝－x2

D　[函数y＝－x是奇函数，y＝cos x在(0，＋∞)上不具有单调性，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x2在(0，＋∞)上单调递减，故选D.]

5．若cos x＝－，且<x<π，则tan x＋sin x的值是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

B　[由题意，知cos x＝－，且<x<π，

所以sin x＝＝，则tan x＝＝－，

所以tan x＋sin x＝－＋＝－.]

6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

 A．45°   B．60°

C．90°   D．120°

B　[如图，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．

∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°，故选B.]

7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0   B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0   D．4x＋y－3＝0

A　[如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，

∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]

8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是(　　)

A．8  B．4  C．2  D．1

C　[这组数据的平均数＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，

s2＝[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s＝2.]

9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

A　[e＝，即c＝a，a＝b，渐近线方程为－＝0，即y＝±x，

因为左顶点到一条渐近线的距离为＝，

解得a＝2，b＝2，

即该双曲线的标准方程为－＝1，故选A.]

10．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝(　　)

A．1∶2∶3   B．3∶2∶1

C．2∶∶1   D．1∶∶2

D　[在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，

可得A＝30°，B＝60°，C＝90°.

∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.]

11．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－  B.   C.  D.

A　[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，

∴－＝－2，∴p＝4.

∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．

又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.]

12．等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么数列{an}的前7项和S7＝(　　)

A．22  B．24  C．26  D．28

D　[∵等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，

∴a3＋a4＋a5＝3a4＝12，解得a4＝4，

∴S7＝＝＝7a4＝28.]

13．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)

A．9  B．8  C．7  D．6

C　[在直角坐标系内，画出可行域为图中阴影部分，

联立解得即A(3,2)．

将z＝x＋2y变为y＝－＋，作直线y＝－.

由图可知，当直线l移动到点A(3,2)时，z有最大值，此时zmax＝3＋2×2＝7，故zmax＝7.]

14．若正方形ABCD的边长为1，则·等于(　　)

A.  B．1  C.  D．2

B　[因为正方形ABCD的边长为1，所以·＝||||cos〈，〉＝×1×＝1.]

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　)

A．4  B.  C．3  D.

D　[cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)

16．设复数z满足＝i，则|z|等于________．

1　[1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1，z＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1.]

17．设f(x)＝，则f(f(2))的值为________．

2　[f(f(2))＝f(log3(22－1))＝f(1)＝2e1－1＝2.]

18．计算：log21＋log24＝________.

2　[原式＝log21＋log222＝log21＋2log22＝0＋2×1＝2.]

 19.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为________．

4　[圆方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a－2b＋2＝0，∴a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．]

三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20．(本小题满分12分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．

(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；

(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．

[解]　(1)抽取的5人中男同学的人数为5×＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．

(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.

从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．

用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，

所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝＝.

21．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M.

(1)求证：PC∥平面EBD；

(2)求证： BE⊥平面AED.

[证明]　(1)连接EM, ∵四边形ABCD是矩形，

∴M为AC的中点．

∵E是PA的中点，

∴EM是三角形PAC的中位线，

∴EM∥PC.

∵EM⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，

∴ PC∥平面EBD.

(2)∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，

∵BE⊂平面PAB，

∴AD⊥BE.

又∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，

∴BE⊥AE, 又AE∩AD＝A，∴BE⊥平面AED.