2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十二函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用苏教版
展开核心素养测评二十二 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2020·佛山模拟)将函数y=sin的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选D.所得图象对应的函数解析式为y=sin,即y=sin.
2.(2019·衡水模拟)已知函数f(x)=-2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位,所得的部分函数图象如图所示,则φ的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题图知,T=2=π,
所以ω==2,所以f(x)=-2cos 2x,
所以f(x+φ)=-2cos (2x+2φ),
由图象知,f=-2cos =2.
所以+2φ=2kπ+π(k∈Z),
则φ=+kπ(k∈Z).
又0<φ<,所以φ=.
3.函数y=2cos的部分图象大致是 ( )
【解析】选A.由y=2cos可知,函数的最大值为2,所以排除D;又因为函数图象过点,所以排除B;又因为函数图象过点,所以排除C.
4. (2020·泰州模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到g(x)=Asin 3x的图象,只需将f(x)的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选C.由选项知只与左右平移有关,没有改变形状,故ω=3,又函数图象经过点,
即对应“五点法”作图中的第3个点,
所以3×+φ=π,|φ|<,
所以φ=,f(x)=Asin,
故g(x)=Asin3x=Asin,
所以只需将f(x)的图象向右平移个单位,即可得g(x)的图象.
5.函数f (x)=3sinx-lox的零点个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.f (x)零点个数即为y=3sinx与y=lox两图象的交点个数,如图,y=3sinx与y=lox有5个交点.
6.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f=
( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,
由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=
Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,
由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.
7.(多选)有下列四种变换方式:
①向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变);
②横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度;
③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度;
④向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).
其中能将正弦函数y=sin x的图象变为y=
sin 的图象的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选AB.①向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin的图象;
②横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2=sin 的图象;
③横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 2=sin 的图象;
④向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的(纵坐标不变),则正弦函数y=sin x的图象变为y=sin 的图象,因此①和②符合题意.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2020·济南模拟)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则为了得到曲线C1,首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右至少平移________个单位长度.(本题所填数字要求为正数)
【解析】因为曲线C1:y=cos x=sin=sin,
所以先将C2 上各点的横坐标变为原来的==2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线y=sin向右平移个单位长度.
答案:2
9. (2019·扬州模拟)函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为________.
【解析】由T=-得周期T=π,于是ω=2,由图象知A=1,根据五点作图法有ω·+φ=,解得φ=,所以f(x)=sin,将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为y=sin=sin.
答案:y=sin
10.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b,A>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.
【解析】作出函数简图如图:
三角函数模型为y=Asin(ωx+φ)+b,
由已知A=2 000,b=7 000,T=2×(9-3)=12,所以ω==.
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,则×3+φ=,φ=0,f(x)
=2 000sinx+7 000(1≤x≤12,x∈N*),
所以f(7)=2 000×sin+7 000=6 000.
所以7月份的出厂价格为6 000元.
答案:6 000
(15分钟 35分)
1.(5分)将函数y=2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由已知,y=2sinsin
=2sincos=sin,
将函数图象向左平移φ个单位后,
得y=sin=sin,
又由函数为奇函数,
则sin=0,
所以2φ+=kπ,k∈Z,
当k=1时,φ=.
2.(5分)(2019·德州模拟)若函数f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0,x∈R,又f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为3π,则ω的值为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.因为f(x)=sin ωx-cos ωx,
所以f(x)=2sin,f(x)最大值为2,
因为f(x1)=2,f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为3π,所以f(x)周期为T=12π,由周期公式得T==12π,因为ω>0,所以ω=.
3.(5分)(2020·海口模拟)已知函数f(x)=
2sin cos +2cos2-1(ω>0)的周期为π,当x∈时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【解析】选B.f(x)=2sin cos +2cos2-1=
sin ωx+cos ωx=2sin.
由T==π得ω=2,
所以f(x)=2sin.
作出f(x)在x∈上的图象如图:
由图知,x1+x2=,
所以f(x1+x2)=2sin=2×=1.
4.(10分)已知函数f(x)=4cos ωx·sinωx++a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值.
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
【解析】(1)f(x)=4cos ωx·sin+a
=4cos ωx·+a
=2sin ωxcos ωx+2cos 2 ωx-1+1+a
=sin 2ωx+cos 2ωx+1+a
=2sin+1+a.
当sin=1时,
f(x)取最大值为2+1+a=3+a,
又f(x)最高点的纵坐标为2,
所以3+a=2,即a=-1,
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,
所以f(x)的最小正周期为T=π,
所以2ω==2,ω=1.
(2)由(1)得f(x)=2sin,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
令k=0,得≤x≤.
所以f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
5.(10分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f(t)=10-2cos t+sin t
=10-2sin,
又0≤t<24,
所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
所以f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
所以实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)由已知,当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin,
所以10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,
所以<t+<,即10<t<18.
所以在10时至18时实验室需要降温.
