2020年上海市中考数学试卷 解析版

2020年上海市中考数学试卷

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．（4分）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）

A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0

3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（　　）

A．条形图 B．扇形图 

C．折线图 D．频数分布直方图

4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）

A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣

5．（4分）下列命题中，真命题是（　　）

A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 

B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 

C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 

D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．（4分）计算：2a•3ab＝　   　．

8．（4分）已知f（x）＝，那么f（3）的值是　   　．

9．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　   　．（填“增大”或“减小”）

10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　   　．

11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　   　．

12．（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　   　．

13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　   　．

14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　   　米．

15．（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为　   　．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　   　米．

17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　   　．

18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　   　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．（10分）计算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．

20．（10分）解不等式组：

21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）联结BD，求∠DBC的正切值．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．

（1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．

（1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

2020年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.，与不是同类二次根式；

C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；

D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选：C．

2．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．

故选：A．

3．【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，

故选：B．

4．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，

将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，

解得k＝﹣8，

所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，

故选：D．

5．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；

B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；

C、正确；

D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；

故选：C．

6．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，

∴平行四边形ABCD是平移重合图形，

故选：A．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．

故答案为：6a2b．

8．【解答】解：∵f（x）＝，

∴f（3）＝＝1，

故答案为：1．

9．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，

故答案为：减小．

10．【解答】解：依题意，

∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，

故答案为：4．

11．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，

∴取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．

故答案为：．

12．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．

故答案为：y＝x2+3．

13．【解答】解：8400×＝3150（名）．

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．

故答案为：3150名．

14．【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴BD∥AC，

∴△ACE∽△DBE，

∴，

∴＝，

∴AC＝7（米），

答：井深AC为7米．

15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，

∴＝＝，

∵＝+＝+，

∴＝＝+，

∵＝+，

∴＝++＝2+，

故答案为：2+．

16．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，

将（8，960）、（20，1800）代入，得：

，

解得：，

∴s＝70t+400；

当t＝15时，s＝1450，

1800﹣1450＝350，

∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350．

17．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3，

∴BD＝BC﹣CD＝4，

∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴ADB＝60°，

∴∠ADC＝∠ADE＝120°，

∴∠EDH＝60°，

∵EH⊥BC，

∴∠EHD＝90°，

∵DE＝DC＝3，

∴EH＝DE•sin60°＝，

∴E到直线BD的距离为，

故答案为．

18．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，

如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，

则OE⊥AD，

∴OE∥CD，

∴△AOE∽△ACD，

∴，

∴＝，

∴AO＝，

如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，

则OF⊥BC，

∴OF∥AB，

∴△COF∽△CAB，

∴＝，

∴＝，

∴OC＝，

∴AO＝，

∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜，

故答案为：＜AO＜．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19．【解答】解：原式＝（33）+﹣4+3﹣

＝3+﹣﹣4+3﹣

＝．

20．【解答】解：，

解不等式①得x＞2，

解不等式②得x＜5．

故原不等式组的解集是2＜x＜5．

21．【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，

∵AB∥DC，∠DAB＝90°，

∴∠D＝90°，

∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AD＝CE，AE＝CD＝5，

∴BE＝AB﹣AE＝3，

∵BC＝3，

∴CE＝＝6，

∴梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；

（2）过C作CH⊥BD于H，

∵CD∥AB，

∴∠CDB＝∠ABD，

∵∠CHD＝∠A＝90°，

∴△CDH∽△DBA，

∴，

∵BD＝＝＝10，

∴＝，

∴CH＝3，

∴BH＝＝＝6，

∴∠DBC的正切值＝＝＝．

22．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意，得：350（1+x）2＝504，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．

23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，

∵DF＝BE，

∴△CDF≌CBE（SAS），

∴∠DCF＝∠BCE，

∵CD∥BH，

∴∠H＝∠DCF，

∴∠BCE＝∠H，

∵∠B＝∠B，

∴△BEC∽△BCH．

（2）证明：∵BE2＝AB•AE，

∴＝，

∵AG∥BC，

∴＝，

∴＝，

∵DF＝BE，BC＝AB，

∴BE＝AG＝DF，

即AG＝DF．

24．【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，

令x＝0，y＝5，

∴B（0，5），

令y＝0，则﹣x+5＝0，

∴x＝10，

∴A（10，0），

∴AB＝＝5；

（2）设点C（m，﹣m+5），

∵B（0，5），

∴BC＝＝|m|，

∵BC＝，

∴|m|＝，

∴m＝±2，

∵点C在线段AB上，

∴m＝2，

∴C（2，4），

将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，

∴，

∴抛物线y＝﹣x2+x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，

∴b＝﹣10a，

∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，

∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），

将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，

∵顶点D位于△AOB内，

∴0＜﹣25a＜，

∴﹣＜a＜0；

25．【解答】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，

∴＝，

∴OA⊥BC，

∴∠BAO＝∠CAO，

∵OA＝OB，

∴∠ABD＝∠BAO，

∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠DBC＝2∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，

∴8∠ABD＝180°，

∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．

②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，

∴∠C＝4∠ABD，

∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，

∴10∠ABD＝180°，

∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．

③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．

综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则＝＝，

∴＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，

∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，

∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，

∴a2＝，

∴BH＝，

∴BC＝2BH＝．