四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（理）

www.ks5u.com理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知复数，则复数的共轭复数A． B． C． D．3．记等差数列的前项和为，若，则A．64 B．48 C．36 D．244．函数的大致图像为A．B．C．D．5．设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则A．1 B．11 C．3或11 D．1或156．已知，则A． B． C． D．7．已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数A． B．2 C． D．8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．264 B．270 C．274 D．2829．已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则A．3 B．-3 C．2 D．-210．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从这个数中随机抽取个数，则这三个数为勾股数的概率为A． B． C． D．11．设，则A． B．C． D．12．函数的零点个数是A．0 B．1 C．2 D．与a有关第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，，若，则______.14．的展开式中，的系数为______.15．将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）16．数列满足，且对于任意的都有，则______.三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.（I）求；（II）求的面积.  18．(12分)某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：将频率作为概率，解答下列问题：(I)当时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率；(II)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求的值(每组数据以中点值代替)； (III)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级；达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．19．(12分)在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点.（I）求证：平面平面；（II）若，求二面角的余弦值.20．(12分)已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．（I）求椭圆E的方程；（II）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．21．(12分)已知函数，若曲线在点处的切线方程为.（I）求实数、的值；（II）证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（I）求圆的普通方程；（II）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．(I)当时，画出函数的图象；(II)不等式恒成立，求m的取值范围．    
理科数学参考答案1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．B 12．A13．  14．-455   15．   16．17．解（1），由得，由余弦定理得，，:（2）连接，如下图：是的中点，，，，在中，由正弦定理得，，，，，，，， ，，，18．（1）依题意，故员工日加工零件数达到及以上的频率为，所以相应的概率可视为，设抽取的名员工中，加工零件数达到及以上的人数为，则,故所求概率为.（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为，可知，解得，因此，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为，解得，进而，故.(3)由已知可得的可能取值为20,30,50，且，所以的分布列为所以.19．解：（1）取的中点，连接与交于点，连接.则为的中点，因为三棱柱，所以，且，所以四边形是平行四边形.又是棱的中点，所以.因为侧面底面，且，所以平面所以平面又平面，所以平面平面（2）连接，因为，所以是等边三角形，故底面．设，可得，分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则所以，取所以又平面的一个法向量为故因为二面角为钝角，所以其余弦值为.20．解：（1）设，为短轴两端点，，则.由于 ，∴.①又在上，∴.②解①②得，.所以椭圆的方程为.（2）设直线：，代入得.③设，，则，.④ .⑤把④代入⑤得，解得.由对称性不妨取，则③变为，解得，.的面积.21．（1），，又由题意得，，所以，所以可得，，构造函数，则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增，又，所以关于的方程的根为，把代入，解得，所以，.（2）证明：由（1）知，则，因为在区间单调递增，，，所以有唯一实根，记为，即，所以，由得，整理得，因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以，即.22．圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为.化圆的普通方程为极坐标方程得，设,则由解得，，设,则由解得，，.23．（1）当时，，画出图像如下图所示： （2）因为，所以不等式成立，等价于成立，该不等式转化为或或，解得.