四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第一次模拟考试 数学（理）
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理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，集合，则A． B． C． D．2．已知命题，则p命题的否定为A． B．C． D．3．若复数在复平面内对应的点在直线上，则A．2 B． C．1 D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．5．在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为A．108 B．90 C．72 D．246．已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A． B． C． D．7．若，则A． B． C． D．8．设随机变量服从正态分布，若，则的值为 A． B． C．3 D．59．已知实数满足，则“成立”是“成立”的A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件10．双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，的面积为，则等于 A．2 B．3 C．4 D．511．已知函数是奇函数，则函数的值域为 A． B． C． D．12．若对，，且，都有，则m的最小值是 注：为自然对数的底数，即A． B．e C．1 D．第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则__________．14．若，满足约束条件，则的最小值为__________．15．在的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则_________．16．如图，直三棱柱中，，，，为线段上的一动点，则当最小时，的面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.（Ⅰ）求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数；（II）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人；①根据已知条件，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系； 非游戏迷游戏迷合计男 女 合计 ②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.附：（其中为样本容量）.0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635 18．（12分）在中，设内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（II）求的取值范围. 19．（12分）如图，三棱柱-的底面是边长为2的等边三角形，底面，点分别是棱，上的点，且（Ⅰ）证明：平面平面；（II）若，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（12分）已知，．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围． 21．（12分）已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （II）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．（Ⅰ）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（II）已知点，直线与曲线相交于两点，若，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（Ⅰ）求证：；（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
理科数学参考答案1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C 11．A 12．C13． 14．3 15． 16．17．解：（1）日均玩游戏时间在分钟的频率为，所以，所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数为.（2）“游戏迷”的频率为，共有“游戏迷”人，由于“游戏迷”中女生有6人，故男生有14人.①根据男、女学生各有50人，得列联表如下： 非游戏迷游戏迷合计男361450女44650合计8020100.故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②“游戏迷”中女生有6人，男生有14人，按照分层抽样的方法抽取10人，则女生有3人，男生有7人.从中任取9人，只剩1人，则共有 10种基本情况，记这9人中男生全被抽中为事件A，则有两名女生被选中,共有种基本情况，因此所求事件A的概率.18．解：（1）由得到，即，即，又∵为三角形内角，∴，所以，从而.（2），∵，∴，∴，所以.所以的取值范围为.19．（Ⅰ）证明：取中点，连接，则，因为底面，所以侧面底面，所以平面． 取中点，连接，则，且，又因为，，所以且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面．又平面，所以平面平面． （Ⅱ）以为原点，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，依题意得，，，，所以，，设平面的一个法向量为，由得 令，得，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为． 20．解：Ⅰ的定义域是，，当时，，在递增，当时，在上，，递减，在上，，递增，综上，当时，在递增，时， 在递减，在递增；Ⅱ恒成立，即恒成立，设，则，，的单调性和相同，当时，在递增，，故在递增，，当时，在递减，在递增，当时，，在递增，，故是增函数，故，当时，在区间上，递减，故，故递减，故，不合题意，综上，a的范围是．21解：（1）由题意知，直线为线段的垂直平分线，即：所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆， ，，，故点的轨迹的方程为 . （2）由题意直线的斜率存在设为,于是直线的方程为，设，联立，得．因为，由根与系数的关系得， ∴，， 设的横坐标为，则，所在直线方程为，令，得，· 于是，即，整理得， ，∴．22．解：（1）将（为参数）消去参数可得,∴直线的普通方程为. 由，得，将代入上式，得，即， ∴曲线的直角坐标方程为． （2）将代入中，整理得，设两点对应参数分别为，则 ， ∵，∴， 又，∴，∴， ∴，即 ，解得，符合题意．∴．23．解：（1）因为，所以.,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.
