西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）三试卷

 理 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．设（是虚数单位），则（    ）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）A． B． C． D．4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市月日日指数变化趋势：下列说法错误的是（    ）A．这天中指数值的中位数略高于B．这天中的中度污染及以上的天数占C．该市月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市月上旬的空气质量比中旬的空质量好5．已知函数的图象如图所示，则可以为（    ）A． B． C． D．6．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．7．已知为等比数列，，，则（    ）A． B． C． D．8．已知、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．9．已知，，，则（    ）A． B． C． D．10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（    ）A． B． C． D．11．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件12．年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控力最大，武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（    ）A． B． C． D． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若、满足约束条件，则的最小值为        ．14．已知函数为奇函数，则       ．15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成       种不同的音序．16．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为       ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在中，，，点在线段上．（1），求的长；（2）若，，求的面积．           18．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，．（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值．                       19．（12分）某工厂生产-种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取件，假设其中至少有件是标准长度产品的概率不小于时，该设备符合生产要求现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值．                    20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上．                         21．（12分）设函数，是函数的导数．（1）若，证明：在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围．                           请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．                       23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求的最小值；（2）若不等式的解集为，且，求的值理 科 数 学（三）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】∵，而，∴，故选B．2．【答案】A【解析】∵，∴，故选A．3．【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，，∴，即有，故选C．4．【答案】C【解析】对A，因为第天与第天指数值都略高，所以中位数略高于，正确；对B，中度污染及以上的有第，，，，天，共天占，正确；对C，由图知，前半个月中，前天的空气质量越来越好，后天该市的空气质量越来越差，错误；对D，由图知，月上旬大部分指数在以下，月中旬大部分指数在以上，所以正确，故选C．5．【答案】A【解析】首先对个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；其次，在剩下的个选项，对其在上的零点个数进行判断，在上无零点，不符合题意，排除D；然后，对剩下的个选项，进行单调性判断，在上单调递减，不符合题意，排除C，故选A．6．【答案】A【解析】设平面向量与的夹角为，∵，可得，在等式两边平方，得，化简得，故选A．7．【答案】C【解析】∵，∴，又，可解得或，设等比数列的公比为，则当时，，∴；当时，，∴，故选C．8．【答案】B【解析】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，，∴，因此，双曲线的离心率为，故选B．9．【答案】D【解析】∵，即，，即，，即，∴，，即，∵，即，∴，综上，，故选D．10．【答案】B【解析】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去，得，由韦达定理得，，，，∵，∴，∴，∴，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，故选B．11．【答案】B【解析】设，根据图象可知，，，再由，取，∴．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，∴，，，令，则，显然，，∴是的必要不充分条件，故选B．12．【答案】A【解析】设事件：检测个人确定为“感染高危户”，事件：检测个人确定为“感染高危户”，∴，，即，设，则，∴，当且仅当，即时取等号，即，故选A． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】作出不等式所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故答案为．14．【答案】【解析】由于函数为奇函数，则，即，∴，整理得，解得，当时，真数，不合乎题意；当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意，综上所述，，故答案为．15．【答案】【解析】①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有；②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；③若“角”在第二个或第四个位置上则有种；综上，共有种，故答案为．16．【答案】【解析】如图所示：过点作面，垂足为，过点作交于点，连接．则为二面角的平面角的补角，即有．∵易证面，∴，而三角形为等边三角形，∴为的中点，设，，，∴，故三棱锥的体积为，当且仅当时，，即，，∴，，三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为．过点作于，∴四边形为矩形，则，，，在中，，解得，三棱锥的外接球的表面积为，故答案为． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，所以．由正弦定理得，即，得．（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由，得，由余弦定理得，即，解得，所以的面积．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图，设与相交于点，连接，又为菱形，故，为的中点，又，故，又平面，平面，且，故平面，又平面，所以平面平面．（2）由是等边三角形，可得，故平面，所以，，两两垂直．如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．不妨设，则，，则，，，，，，设为平面的法向量，则，即，可取；设为平面的法向量，则，即，可取，所以，所以二面角的余弦值为．19．【答案】（1）；（2）不符合，最小值为．【解析】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：所以的数学期望的估计为．（2）由（1）可知任取一件产品是标准长度的概率为，设至少有件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于的要求．设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，又，解得，所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为．20．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，解得，，所以椭圆的方程是．（2）设直线的方程为，、、，由，得，，则有，，由，得，由，可得，，，综上，点在定直线上．21．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）若，则，，设，则，，，故函数是奇函数．当时，，，这时，又函数是奇函数，所以当时，，综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．又，，故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点．（2），由，所以恒成立，若，则，设，．故当时，，又，所以当时，，满足题意；当时，有，与条件矛盾，舍去；当时，令，则，又，故在区间上有无穷多个零点，设最小的零点为，则当时，，因此在上单调递增，，所以．于是，当时，，得，与条件矛盾，故的取值范围是．22．【答案】（1）直线的普通方程见解析，；（2）或．【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为；当时，直线的直角坐标方程为．因为，，因为，所以，所以的直角坐标方程为．（2）直线与圆交于两点，且，故圆心到直线的距离．①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意；②当时，直线的方程为，所以，整理得．解得，综上所述，直线的倾斜角为或．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），时，的最小值为．（2）当，即时，的解集为，，符合；当，即时，的解集为，，综上可得