云南省昆明市2020届高三高考模拟考试（三模）数学（理）试题
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昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在复平面内，复数z=对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合则A∩B=
A． B． C． D．{0,1,2}
3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是
A．各月的利润保持不变
B．各月的利润随营业收入的增加而增加
C．各月的利润随成本支出的增加而增加
D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
4．已知点P(1,)在双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线上，该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．4
5．已知点则|AB|=
A．1 B． C． D．2
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为
A．216
B．108
D．36
7．材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中。这个公式被称为海伦—秦九韶公式。
材料二：阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
根据材料一或材料二解答：已知中则面积的最大值为
A． B．3 C．2 D．6
8．已知函数的图象向左平移个单位后与f(x)的图象重合，则ω的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
9．如图1，已知PABC是直角梯形在线段PC上将沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB=2AN
10．已知F为抛物线的焦点，点P为抛物线上一点，以线段PF为直径的圆与x轴相切于点M，且满足则p的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
11．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．在中，A=，AB=AC=2，有下述四个结论：
①若G为的重心，则
②若P为BC边上的一个动点，则为定值2
③若M，N为BC边上的两个动点，且则的最小值为.
④已知P为内一点，若且则λ+μ的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若则a1=
14．若“x0∈”是真命题，则实数a的取值范围是.
15．在ABC中，在线段AB上，若与△BDC的面积之比为3：1，则CD=。
16．某校同时提供A、B两类线上选修课程，A类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A类、B类课程中的一类学习，当选择A类课程20次，B类课程20次时，可获得总积分共分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共分。(本题第一空2分，第二空3分)
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~2l题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17．(12分)已知数列{an}为正项等比数列，Sn为{an}的前n项和，若
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)从三个条件：①bn=;③bn= 中任选一个作为已知条件，求数列{bn}的前n项和Tn..注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．(12分)已知四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形为正三角形，M是PC的中点，过M的平面α平行于平面PAB，且平面α与平面PAD的交线为ON，与平面ABCD的交线为OE.
(1)在图中作出四边形(不必说出作法和理由)；
(2)若求平面α与平面PBC形成的锐二面角的余弦值.
19．(12分)
已知椭圆C： (a>b>0)左焦点为F1(-1，0)，经过点F的直线与圆：相交于P，Q两点，M是线段PF2与C的公共点，且
(1)求椭圆C的方程
(2)与C的交点为A，B，且A恰为线段PQ的中点，求△ABF2的面积。
20．(12分)
近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业。某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售。为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重(单位：克)，其重量分布在区间内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图。
(1)以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在内的个数X的数学期望；
(2)小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格(第0格)开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格(从第k格到第k+1格若掷出2点，即从当前位置向前行进两格(从第k格到第k+2格行进至第31格(获得福袋)或第32格(谢谢惠顾),游戏结束.设买家行进至第格的概率为
(i)求p1、p2，并写出用pi-2、pi-1表示的递推式;
(ii)求P32，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家.
21．(12分)
已知
(1)若证明： ；
(2)对任意都有求整数a的最大值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线过点倾斜角为α．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)若与C相交于A，B两点，M为线段AB的中点，且.
23．[选修4-5：不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时，求函数的定义域；
(2)设当x∈时成立，求的取值范围.
