2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学一

2020年高考考前45天大冲刺卷

理 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．下面是一个列联表：

则表中、的值依次为（    ）

A．54，52 B．52，54 C．54，56 D．56，54

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位

C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

4．在等差数列中，，，是其前项的和，则（    ）

A． B． C． D．

5．若某多面体的三视图（单位：）如右图所示，则此多面体的体积是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（    ）种．

A．576 B．72 C．48 D．24

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（    ）

A． B． C． D．

9．展开式中的一次项系数为（    ）

A． B． C． D．

10．抛物线的焦点为，为坐标原点，若抛物线上一点满足，

则的面积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知关于的函数，若点是区域，

内任意一点，则函数在上有零点的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知过点的二次函数的图象如下图，给出下列论断：①，

②，③，④．其中正确论断是（    ）

A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数________．

14．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，为另一个焦点，若双曲线的离心率为，则的度数为       ．

15．设、、为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影（也称射影）相同，则与满足的关系式为____________．

16．已知三棱锥的三个顶点、、都在一个半球的底面圆的圆周上，为圆的直径，在半球面上，平面底面圆，且，则该半球的表面积为_______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在中，．

（1）求角的大小；

（2）若，，求．

18．（12分）国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，拟安排到、、三个科室工作，

但甲必须安排在科室，其余4人可以随机安排．

（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；

（2）设安排在科室的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在三棱锥中，，，两两垂直且相等，过的中点作平面，且分别交，于，，交，的延长线于，．

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）椭圆中，己知，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于，两点，且，当在短轴端点时，．

（1）求，的值，并证明直线的方程为；

（2）探索的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．

21．（12分）已知函数（）．

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知点，参数，点在曲线上．

（1）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求点与点之间距离的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数，．

（1）解不等式；

（2）对于实数，，若，，求证：．

答案与解析

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】，，

则．

2．【答案】B

【解析】，则，，则．

3．【答案】C

【解析】把中的换成，则可得，

即向右平移个长度单位．

4．【答案】B

【解析】，则，，则，

则．

5．【答案】B

【解析】知该几何体是一个三棱柱截去了一个四棱锥，

则此多面体的体积是．

6．【答案】A

【解析】由，得，则，则，

同理可得．

7．【答案】D

【解析】有四种情况：3辆车放在123位置、567位置、127位置、167位置，

则不同的停放方法有种．

8．【答案】B

【解析】第一次循环，，；

第二次循环，，；

第三次循环，，；

第四次循环，，；

注意到周期性，那么第2012次循环，，．

9．【答案】A

【解析】一次项的系数为．

10．【答案】C

【解析】可设，则，，

由，得，则，

得，则，那么，

那么的面积为．

11．【答案】C

【解析】不等式组表示的平面区域是如图的阴影部分，阴影部分的面积为2．

在上有零点，则，即，

在阴影部分内，且满足的部分的面积为，

那么函数在上有零点的概率为．

12．【答案】A

【解析】从图象可得，，知①错误，②正确；

，则，

那么，则，③错误；

，知，那么，而，则，一定有，④正确．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】．

14．【答案】

【解析】，设，则，，，

则，那么．

15．【答案】

【解析】可得，即．

16．【答案】

【解析】取的中点，连结，，，则⊥，

⊥，那么平面，则．

过作于点，

那么平面，则，

可得平面，

那么由，可得，则，

则半球的表面积为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知得，

则，而，所以．

（2）由，可得，则，

，得，，

．

18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设“每个科室安排至少1人至多2人”为事件，

由题意，其余4人随机安排到、、三个科室的排法，即基本事件总数为．

若科室安排1人（即甲），有种排法；

若科室安排2人，有种排法，

所以，

故每个科室安排至少1人至多2人的概率为．

（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5．

因其余4人可以随机安排，所以任何1人被安排到科室的概率都是，

则不被安排到科室的概率都是．

所以，，

，，

．

则的分布列为

则的数学期望．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由，，可知平面，

又因为平面，平面过且与平面交于，

所以，故平面．

（2）以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

并设，则，，，

设平面的法向量，

由，，可求得，

，，，

设平面的法向量，

由，，可得，

，

则二面角的余弦值为．

20．【答案】（1），，证明见解析；（2）的面积为定值，定值为．

【解析】（1）在短轴端点时，，由，

可得，所以，则，，

则椭圆方程为．

由，则，，

由点差法得，所以．

直线方程为，即，

因为，则，即．

（2），得，

设、，得，，

则，

，

到的距离，

所以，

所以的面积为定值．

21．【答案】（1）函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）不存在，详见解析．

【解析】（1）知函数定义域是，．

①当时，即时，令，解得或；

令，解得．

所以函数在和上单调递增，在上单调递减．

②当时，即时，显然函数在上单调递增．

③当时，即时，令，解得或；

令，解得．

所以函数在和上单调递增，在上单调递减．

（2）假设函数存在“中值相依切线”．

设、是曲线上的不同两点，且，

则

．

曲线在点处的切线斜率，

可得，

则，即．

设（），则，即．

令，则．

因为，显然，所以在上递增，

显然有恒成立．

所以在内不存在，使得成立．

综上所述，假设不成立．

所以，函数不存在“中值相依切线”．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由，得，

因为，则，

得点的轨迹方程，

又由，得，

∴，∴曲线的直角坐标方程为．

（2）半圆的圆心为，

它到直线的距离为，所以．

23．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）令，

则，作出函数的图象，

它与直线的交点为和，

所以的解集为．

（2）因为

，

所以．