四川省泸县第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题
展开
2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则满足的集合的个数是A．4 B．3 C．2 D．13．若实数满足则的最小值是A． B． C． D．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为A．钱 B．钱 C．钱 D．钱5．定义运算，则函数的大致图象是A．B．C．D．6．已知，且是第四象限角，则的值是A． B． C． D．7．已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足为锐角的概率为A． B． C． D． 9．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A． B． C． D．10．函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为A． B． C． D．11．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．12．已知，则，不可能满足的关系是A． B． C． D． 第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数在处取得极值，则的值为___________. 14．已知向量，，则在方向上的投影为___________. 15．若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．16．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：；平面；三棱锥的体积为定值；异面直线所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在中，，，.（I）求角 （II）设为的中点，求中线的长.18．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生男生总计获奖 不获奖 总计 附表及公式：其中,． 19．（12分）四棱锥中,平面，，，为的中点，，过点作于.(1) 求证：；(2) 求三棱锥的体积. 20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（I）求动点的轨迹方程；（II）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值. 21．（12分）已知函数，，且点处取得极值．（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（Ⅱ）证明：． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）．
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（Ⅰ）若不等式对恒成立，求正实数的取值范围；（Ⅱ）设实数为（Ⅰ）中的最大值.若正实数，，满足，求的最小值.
2020年春四川省泸县第四中学高三三诊模拟考试文科数学参考答案1．A 2．A 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．A12．C13．1 14．1 15． 16．17．（1）∵，∴. 分由正弦定理，即. 分得，∵，∴为钝角，为锐角，故. 分（2∵∴.由正弦定理得，即得. 分在中由余弦定理得：，∴. 分18．解：(Ⅰ), 分． 分(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下： 女生男生总计获奖不获奖总计因为, 分所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”19.(I)证明:取的中点，连接,因为是的中点， ,故,四边形CDEM为平行四边形， 分，，所以 分 (II)过C作交AB于N点，因为平面，，所以CN为点C到面PEF的距离而 在直角中，，，AP=5，, 分, 分三棱锥的体积 分 20．解：（1） 设，由题意得：，由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为. 分（2）设，则，且，当时，，此时；当时，因为,即故，，，①， 分代入① 设 因为恒成立，在上是减函数， 分当时有最小值，即,综上：的最小值为 分21．解：（Ⅰ）∵， ∴∵函数在点处取得极值， 分∴，即当时，∴，则得．经检验符合题意 2分∵，∴， ∴．令， 则． 分∴当时，随的变化情况表：
1
（1，2）
2
（2，3）
3
+
0
-
↗
极大值
↘
计算得：，，，所以的取值范围为． 6分（Ⅱ）证明：令，则，令，则，函数在递增，在上的零点最多一个又，，存在唯一的使得， 9分且当时，；当时，．即当时，；当时，．在递减，在递增，从而．由得即，两边取对数得：，，，从而证得． 12分考点：1．函数的极值与最值；2．导数的应用；3．函数的单调性． 22．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为： 圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ： 或 5分（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为 为曲线上任意一点，的取值范围是 10分23．（1），当且仅当时等号成立，，解得，正实数的取值范围为. 分（2）由（1）知，，即.，，，当且仅当时取得最小值为8. 分
