四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期高考模拟（二）数学（理）试卷
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数学试题(理科)（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.设集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）2.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为（ ）（A） （B） （C） （D）3.已知向量，，，若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）4.已知，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）5.函数的图象大致为( ) 6.用数字可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）（A） （B） （C） （D）7.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于（ ）（A） （B） （C） （D）8.某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ）处.（A） （B） （C） （D）9.若直线与圆相交于两点，且的面积为，则( )（A） （B） （C） （D） 10.已知，，，则的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）11.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）12. 如图，正四棱锥与的顶点恰为正方体上、下底面的中心，点分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为2，现有以下结论：①正四棱锥与全等；②当分别为四个侧面的中心时，异面直线与所成角为；③当分别为四个侧面的中心时，正四棱锥的内切球半径为；④八面体的体积的取值范围为.则正确的结论的个数为（ ）（A） （B） （C） （D） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分． 13.已知实数满足，则的最大值为________．14.的展开式中的常数项的值是__________．（用数字作答）15.在中，，，，则__________．16.已知函数在有零点，则实数的取值范围是________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知等比数列为递减数列，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值． 18. （本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差摄氏度101113128发芽颗2325302616 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的3组数据中含有来自连续几天的数据，则将最大连续天数记为(表示数据来自不连续的三天)，求的分布列及期望；（Ⅱ）根据12月2日至4日数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：，． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 20.（本小题满分12分）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（不为抛物线的顶点），过分别作抛物线的切线与轴的交于，交点为. （Ⅰ）求证：当变化时，经过三点的圆过定点；（Ⅱ）求线段长度的最小值. 21.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若时，，求的取值范围；（Ⅱ）证明：. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值. 23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）已知.若函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明: .
数学理科答案1.设集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解不等式得，即；由得，即；所以.故选A2.已知是虚数单位，复数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵，∴复数的虚部为． 故选B．3.已知向量，，，若，则的值为（ D ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，，4.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，故选B.5.函数的图象大致为( ) 【答案】C【解析】因为的定义域为，且,，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，因为，所以排除A.6.用数字可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是C A. B. C. D. 【答案】C【解析】分类：①个位排，前三位有种排法；②个位排，前三位有种排法．共有 种排法． 7.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的等于( )．A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1，②被5除余2，最小为两位数，所输出的，故选C.8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ B ）处. A. B. C. D. 【答案】B【解析】设仓库建在距离车站km处， 两项费用之和为，则，当时取最小值．9.若直线与圆相交于两点，且的面积为，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆:，∵的面积为， ∴∴圆心到直线的距离为，则 ，解．10.已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故，所以．11.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为 （ D ） A. B. C. D.【答案】D【解析】，， ，, 12. 如图，正四棱锥与的顶点恰为正方体上、下底面的中心，点分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为2，现有以下结论：①正四棱锥与全等；②当分别为四个侧面的中心时，异面直线与所成角为；③当分别为四个侧面的中心时，正四棱锥的内切球半径为；④八面体的体积的取值范围为.则正确的结论的个数为CA. B. C. D. 【答案】C【解析】正确结论②③④①可以上下移动，正四棱锥与不一定全等，故①不正确；②为等边三角形，则，又有，异面直线与所成角为，故②正确；③正四棱锥的内切球半径即底边长高为的等腰三角形的内切圆半径，考虑等腰三角形的面积 ，故③正确；④当位于正方体各个面的中心时取最小值，当位于正方体四条竖直方向的棱的中点时取最大值，故④正确. 13.已知实数满足，则的最大值为________．【答案】4【解析】不等式组对应的可行域如图所示，当直线经过点时，直线的纵截距最大，最大.联立得,所以. 14.的展开式中的常数项的值是__________．（用数字作答）【答案】【解析】因为，令得，即常数项为15.在中，，，，则 ．【答案】【解析】16.已知函数在有零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】-0+极小值 当时，有一个零点．当时,, ，则在存在一个零点．，则在存在一个零点． （17）（本小题12分）已知等比数列为递减数列，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和，并求的最大值．【解析】（Ⅰ）对于数列，由题得（，）…………2分解得或，…………4分又为递减数列，则，，…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，，故是首项为，公差为的单调递减等差数列. …………10分又，所以数列的前项为正数，所以当或时，取得最大值，且最大值为．…………12分 18. （本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差摄氏度101113128发芽颗2325302616 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的3组数据中含有来自连续几天的数据，则将最大连续天数记为(表示数据来自不连续的三天)，求的分布列及期望；（Ⅱ）根据12月2日至4日数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：，．解：（Ⅰ）由题意知，；则, , …………4分∴的分布列为：123数学期望为； …………6分（Ⅱ）由题意，计算，，， 所以，∴关于的线性回归方程为； …………10分当时，，且，当时，，且．∴所求得线性回归方程是可靠的．…………12分19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且； ………..2分在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形， ………..4分，又平面，平面，平面． ………..6分法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， ………..2分又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面， ………..4分又，所以平面平面，又平面，平面． ………..6分（Ⅱ）设的中点为，又．因平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系． ………..7分已知点， ……..8分设平面的法向量为：则有 ，可得平面的一个法向量为，， ………..10分可得：， ..11分所以直线与平面所成角的正弦值为． ………..12分 20. （本小题满分12分）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点（不为抛物线的顶点），过分别作抛物线的切线与轴的交于，交点为. （Ⅰ）求证：当变化时，经过三点的圆过定点；（Ⅱ）求线段长度的最小值.解：（Ⅰ）设，令，得点坐标 …………2分，同理 …………4分经过三点的圆过焦点. …………6分（Ⅱ）设直线 联立直线与抛物线 则， …………8分设，由 得，，消去得， …………10分点在定直线上.线段长度的最小值为点到直线的距离，线段长度的最小值为. …………12分 21. (本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若时，，求的取值范围；（Ⅱ）证明：.解：（Ⅰ）注意到，，............1分 若，则当时，，所以；..........2分若，则当时，，所以；..........4分若，则当时，，所以.故的取值范围是...............6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，..............8分令得：...............10分..............12分22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.解：（Ⅰ）设，.且点，由点为的中点，所以 ……3分整理得.即， 化为极坐标方程为. ……5分（Ⅱ）设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即. ……6分联立整理得. ……7分则解得. ……9分所以，则. ……10分23.（本小题满分10分）已知.若函数的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明: 解：（Ⅰ）∵当且仅当时,等号成立, …………3分∴ 的最小值为,∴. …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,且都是正数,所以 …………9分当且仅当时,取等号,所以得证 …………10分
