宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟试卷文科数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.做答时，务必将答案写在答题卡相应位置上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：（每题5分，共60分，每题只有一个答案是正确的）1.若复数z满足，则z的实部为A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知得复数z的表达式，再根据复数的除法运算，将复数z的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，计算化简得复数z，从而得解.【详解】由得，所以复数z的实部为，故选B.【点睛】本题考查复数的概念与乘法、除法运算，属于基础题.2.已知集合，，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算． 4.已知非零向量，满足，且，，的夹角为，则实数k的值为（    ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】根据即可得出，然后根据进行数量积的运算即可得出，再由即可求出．详解】，，且，，，即，，.故选：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5.函数的部分图象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【详解】为偶函数，舍去A;当时,舍去C；当时,舍去D；故选：B【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.6.双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据点在不等式表示的区域内，即可求得的不等关系，据此求得离心率范围.【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为，且“右”区域由不等式组 确定，∵点(2,1)在“右”区域内，∴，即，∴，即双曲线离心率e的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.7.在四边形中，，且，，，则边的长（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】利用二倍角的余弦公式求出，然后利用余弦定理可求得边的长.【详解】，，由余弦定理得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是（    ）A. i>100，n＝n＋1 B. i<34，n＝n＋3C. i>34，n＝n＋3 D. i≥34，n＝n＋3【答案】C【解析】【分析】根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子.【详解】算法的功能是计算的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34.故选：C.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9.如图四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出和，可求得，即可得解.【详解】四边形是边长为的正方形，则，且，，平面，平面，，同理可得，，平面，所以，直线与平面所成角为，，，平面，平面，，在中，，，.因此，直线与平面所成角为.故选：D.【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.10.定义行列式运算.已知函数满足且的最小值为，则的值为（   ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后由的最小值为可以求出周期，进而求出.【详解】由题意得，，，因为的最小值为，所以，则由得.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．11.如图，若是椭圆上位于第一象限内的点，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是椭圆的右焦点，且，，则该椭圆的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，由建立等式，可求得椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，，所以，直线的方程为，联立，解得或，由于点在第一象限，则，，则，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是求出点的坐标，并由此建立有关、、的齐次方程，考查计算能力，属于中等题.12.定义在上的奇函数满足，且在上，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，且，由于，故，据此可得：，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【详解】求导可得，故切线斜率为，故切线方程，即.故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14.若实数x，y满足条件，则的最大值为_____________.【答案】18【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，最大值为：.故答案为 18．15.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】利用两角差的正切公式求出的值，再利用二倍角的正切公式可求出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差和二倍角的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.16.已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为________.【答案】【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，可知该圆柱的高为，计算出圆柱的体积，可求得的值，进而可求得圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面半径为，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为，所以，圆柱的体积为，解得.因此，该圆柱的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明）17.已知等差数列的前n项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题，等差数列的前n项和为，，，求得，可求得通项公式；（2）先利用求和公式，求得，即可求得最大值.【详解】（1）由题，因为等差数列，，所以 又，所以解得 所以 （2）由（1）可得：可得当n=25时，取最大值为625【点睛】本题考查了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记基础题.18.甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）： 平均数方差命中环及环以上的次数甲乙    （2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：.【答案】（1）详见解析；（2）①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力.【解析】【分析】（1）根据统计图列举出甲、乙两人各射击次中靶环数，并计算出乙射击次中靶环数的平均数、方差以及命中环及环以上的次数，由此可完善表格；（2）①根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和方差的大小，由此可得出结论；②根据表格中数据甲、乙两人的平均数和命中环及环以上的次数的大小，由此可得出结论；③根据甲、乙两人射击命中环数的波动情况可得出结论.【详解】解：（1）由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为、、、、、、、、、.将它们由小到大排列为、、、、、、、、、.乙射击次中靶环数分别为、、、、、、、、、.将它们由小到大排列为、、、、、、、、、；（1）（环），.填表如下： 平均数方差命中环及环以上的次数甲乙  （2）①平均数相同，，甲成绩比乙稳定；②平均数相同，命中环及环以上的次数甲比乙少，乙成绩比甲好些；③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力.【点睛】本题考查统计图表的应用，同时也考查了平均数、方差的计算，考查计算能力与数据处理能力，属于基础题.19.如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若， ，求点到平面的距离.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果.【详解】（Ⅰ）连接，交于点，再连接，由已知得，四边形为正方形，为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴平面.      （Ⅱ）∵在直三棱柱中，平面平面,且为它们的交线，又，∴平面,又∵平面,∴，且.同理可得，过作，则面，且. 设到平面的距离为,由等体积法可得：，即，即.即点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.20.已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．（1）求的值；（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）；（2）点在定直线上．【解析】【分析】（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线的方程为，由已知得：圆的圆心，半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．所以；（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，所以切线的方程为．令，，即交轴于点坐标为，所以， ，，．设点坐标为，则，所以点在定直线上．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题．21.已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．【答案】（1）在上是单调递减；在上是单调递增. （2）详见解析【解析】【分析】（1）由可得，利用导数可求的单调区间.（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.【详解】（1）函数的定义域：，，解得，，令，解得，故在上是单调递减；令，解得，故在上是单调递增. （2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得 即，， 因此， 令，由，得.则， 构造函数， 则所以函数在上单调递增，故，即，可知.故命题得证.【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．（2）函数有两个不同的零点，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设，再利用得到、与的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为（2,1），求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.【详解】（1）由题目知曲线的极坐标方程可化为，即，即，∴ 曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.已知函数（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对按，，进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到最小值的值，再令，，由基本不等式进行证明.【详解】①当时，不等式可化为，.又，；②当时，不等式可化为，.又，.③当时，不等式可化为，.又，.综上所得，.∴原不等式的解集为.（2）证明：由绝对值不等式性质得，，，即.令，，则，，，，，，原不等式得证．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.