山东省德州市2020届高三（6月）模拟考试数学试题

高三数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-6页，共150分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集、并集的定义计算即可；
【详解】解：因为
所以，
所以
故选：D
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2.已知实数x，y满足则“是”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由对数的性质分析可得“若，则”和“若，即，必有”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.
【详解】根据题意，实数满足，
若，即，则，则“”是“”的充分条件，
反之若，即，由，则必有，则“”是“”的必要条件，
故“”是“”的充要条件；
故选：C
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.
3.欧拉公式，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足则 | z | =（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由新定义将化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出后再求模．
【详解】由欧拉公式有：.
由，即
所以，即
所以
故选：A
【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化为代数形式，然后求解．属于中档题.
4.设，，，若，则与的夹角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，，表示的坐标，再由建立方程求得k，得到的坐标，然后利用夹角公式求解.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以，
因为，
所以，
所以与的夹角余弦值为.
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5.已知α终边与单位圆的交点且，则的值等于（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据三角函数的定义得的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解.
【详解】因为终边与单位圆交点，且，
所以，，则



.
故选：A.
【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.
6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）

附：,其中.

0.10
0.05
0.01
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879



A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算,结合表中的数据判断即可.
【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为,故经常进行体育锻炼的学生人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为,女生有.列出列联表有：

男生
女生
总计
经常锻炼
110
40
150
不经常锻炼
30
20
50
总计
140
60
200

故,因为.
故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.
故选：B
【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.
7.的展开式的各项系数和为，则该展开式中含项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为的展开式的各项系数和为，令，可得，解得，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.
【详解】的展开式的各项系数和为
令，可得
故：
解得：
故：
设展开通项公式为：
设展开通项公式为：
则展开通项公式为展开式中含
即中的幂是
故，可得
又 且
可得或
当，由
当，由
该展开式中含项的系数为
故选：B.
【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
8.已知函数f（x）的定义域为R，且，则不等式解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数,再分析的单调性以及求解即可.
【详解】构造函数,则,故在上为增函数.
又,故即,即.解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值2 D. 有最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】
对A,根据基本不等式求的最大值；
对B,对平方再利用基本不等式求最大值；
对C,根据再展开求解最小值；
对D,对平方再根据基本不等式求最值.
【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.
对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.
对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.
对D, ,即,故有最小值.故D错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.
10.直线与圆C：相交于A、B两点,则AB长度可能为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求得圆心到直线的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长的范围即可.
【详解】因为直线过定点,故圆的圆心到直线的距离的最大值为.又圆的半径为6,故弦长的最小值为.
又当直线过圆心时弦长取最大值为直径12,故.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.
11.CPI是居民消费价格指数(comsummer priceindex)的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）

A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌
B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大
C. 2020年1月至2020年4月CPI只跌不涨
D. 2019年4月至2019年6月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项.
【详解】根据同比折线图可知：
2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，
其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为，2020年1月同比涨幅最大为，
故A错误，B正确；
根据环比折线图可知：
2020年1月至2020年4月CPI有跌有涨，故C错误；
2019年4月至2019年6月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题.
12.抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（ ）
A. |PM| +|PF|的最小值为3
B. 抛物线C上的动点到点的距离最小值为3
C. 存在直线l，使得A，B两点关于对称
D. 若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
【详解】A．设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确；

B．设是抛物线上任一点，即，，时，，B错误；
C．假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程，由得，
所以，，设，则，中点为，则，，必在直线上，
所以，，这与直线抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；
D．设，由即，得，则切线方程为，
即，同理方程是，
由，解得，由题意在准线上，
所以，，
所以，
所以时，为最小值．D正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线C过点且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设所求双曲线方程为，代入所过点的坐标，可求解．
【详解】由题意设所求双曲线方程为，因为双曲线过点
所以，，所以双曲线方程为，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为．
14.已知为奇函数，当时则曲线在处的切线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质，求出时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．
【详解】为奇函数，当时
可得，
根据奇函数性质
可得：
，可得
故：

曲线在处的切线方程是：
整理可得：
故答案为：
【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图象向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图象重合，则______，若函数在是减函数，则的最大值是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，结合诱导公式可求得的值，求得函数的单调递减区间，由属于该区间求得的值，再由区间的包含关系可求得的最大值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位后可得到函数的图象，
则，
又，，
令，解得，
所以，函数的单调递减区间为，
由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，
所以，，解得，则的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑，现将鳖臑沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是______.

【答案】
【解析】
【分析】
当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.
【详解】当沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑经翻折后，A点翻折到E点，关于对称，所拼成的几何体为三棱锥,如图，

由
可得,
即为正三角形，
所以外接圆圆心为三角形中心，
设三棱锥外接球球心为，连接，则平面，连接,,在中作,垂足为，如图，

因为,,
所以是的中点，由矩形可知,
因为为三角形的中心，
所以
在中，,
所以,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知D是边AC上的一点面积是面积的3倍，
（1）若∠ABC=，求的值；
（2）若BC=，AB=3，求边AC的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可；
（2）由题设条件结合三角形面积公式得出，进而得出，最后由余弦定理求解即可.
【详解】解：（1）因为，，所以.
所以，所以；

（2）因为，即
所以,所以，
，所以.

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
18.给出以下三个条件:
①数列是首项为 2，满足的数列；
②数列是首项为2，满足（λ∈R）的数列；
③数列是首项为2，满足的数列..
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.
设数列的前n项和为，与满足______，记数列，，求数列{}的前n项和；
（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据所填条件求出数列通项公式，再依次求，的通项公式，由，用裂项相消求数列{}的前n项和即可.
【详解】选①，由已知（1），
当时，（2），
（1）-（2）得：，即，
当时，，由，所以，
所以，满足，
故是以2为首项4为公比的等比数列，所以.
，，
所以.
选②，由已知（1），
当时，（2），
（1）-（2）得，，即，
当时，满足，
故是以2为首项4为公比的等比数列，所以.
下同选①；
选③，由已知（1），
则时，（2），
（1）-（2）得，即，
当时，，而，得，满足，
故是以2为首项4为公比等比数列，所以.
下同选①.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n项和.
19.如图，已知平面平面，直线平面，且.

（1）求证：平面；
（2）若，平面，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）过点作于点，推导出平面，利用线面垂直的性质定理可得出，再由线面平行的判定定理可证得平面；
（2）推导出四边形为矩形，然后以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，所以，
由可知，，，则，
所以点是的中点，连接，则，
所以平面，则，，所以四边形是矩形.
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则、、、.
设平面的一个法向量为，
又，.
由，得，取，得.
设平面的一个法向量为，
因为，.
由，得，取，得；
设二面角的平面角为，则，
由题知二面角是钝角，则二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.
20.已知椭圆C ：与圆相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF1F2的周长为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A、B两点若直线AD与直线BD的斜率之积为，证明：直线恒过定点.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据四边形MNPQ为正方形，可得到关于的一个方程，由△PF1F2的周长为得到关于的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C的方程.
（2）对直线l的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD与直线BD的斜率之积为转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论.
【详解】解：（1）

如图所示，设点，
由题意四边形MNPQ为正方形，所以，即，
因为点在圆上，所以，
即，又点在椭圆上，
所以，即，
所以①，
又△PF1F2的周长为，
即②，
由①②解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）①当直线斜率不存在时，设：，，，
因为点在椭圆上，
所以，即，
所以不满足题意.
②当直线斜率存在时，设：，
，，联立，
整理得，
所以，，
则

，
将，代入上式化简得：
.
即，解得，，
所以直线恒过定点.
【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.
21.已知函数
（1）若时在上的最小值是，求a；
（2）若，且x1，x2是的两个极值点，证明：（其中e为自然对数的底数）
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数得出函数的单调性，再由最值，解出的值；
（2）由题意结合韦达定理得出，，，将化简为，构造函数，利用导数得出其最大值，进而得出.
【详解】解：（1）定义域是，.
令，对称轴
因为，，所以当时，，即
所以在上单调递增.

解得.
（2）由有两个极值点，，则在有2个不等的实根
即在有2个不等的实根，则，解得.
，，
当时，

令，
令
，当时，，所以在单调递减.
所以
即
所以在单调递减


所以所以原式成立.
即.
【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.
22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）
月份
2020.01
2020.02
2020.03
2020.04
2020.05
月份编号
1
2
3
4
5
竞拍人数（万人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7


（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价区间（万元）






频数
20
60
60
30
20
10


（i）求这200位竞价人员报价的平均值和样本方差s2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）
（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布且μ与σ2可分别由（i）中所示的样本平均数及s2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数，请你预测（需说明理由）最低成交价.
参考公式及数据：
①回归方程，其中
②
③若随机变量X服从正态分布则
.
【答案】（1），20000人.（2）（i）11万元，6.8（ii）13.6万元
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；
（2）（i）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；
（ii）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价.
【详解】解：（1）根据题意，得：，
，

则
从而得到直线的回归方程为
当时，.
所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人.
（2）（i）根据表中给的数据求得平均值和方差为
（万元）.
.
（ii）竞拍成功的概率为
由题意知
所以
所以
所以2020年6月份的预测的最低成交价万元.
【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.