山东省菏泽市2020届高三联合模拟考试数学试题

山东省菏泽市2020届高三联合模拟考试2020.4
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分｡在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡
1.已知是虚数单位，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】.
故选：C．
【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.
2.若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合，按照交集定义，即可求解
【详解】易知，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.
3.2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）．
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，
或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、
干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”
是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．
故选：A．
【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.
4.已知向量，满足，，若，则（ ）．
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知求出的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解.
【详解】．
因为，所以，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题.
5.已知双曲线一条渐近线上存在一点到轴距离与到原点的距离之比为，则实数的值为（ ）．
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知可得渐近线的斜率，建立的方程，即可求出结论.
【详解】由题意，一条渐近线的斜率为，
则，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的方程和简单几何性质，属于基础题.
6.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于0且小于1的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数的限制条件，列出所有对数的基本事件，确定出满足条件的对数个数，由古典概型的概率公式，即可求解.
【详解】由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，
共得到4个对数，其值均为0．
从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，
基本事件为，，，，，，
，，，，，，共12个，
所以基本事件总数为16个，满足题设条件的事件有，
，，，，，共6个，
由古典概型的计算公式得所求事件的概率．
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.
7.某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节､下午4节），分别安排语文数学､英语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有（ ）．
A. 4800种 B. 2400种 C. 1200种 D. 240种
【答案】B
【解析】
【分析】
先安排生物有，接着安排相邻的数学和英语有5种相邻形式，故有，最后安排其它5节课有，根据分步乘法原理，即可求解结论
【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，
所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，
有种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，
注意数学和英语之间还有一个排列有种编排方法；
第三步：剩下的5节课安排5科课程，有种编排方法．
根据分步计数原理知共有种编排方法．
故选：B．
【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.
8.已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，则为的零点，根据判别式可得，就和分类讨论后可得的大小关系.
【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为，
故，
因为，故，所以即.
又，
若，则，故即.
若，则，所以或者，
即或.
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分｡在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求｡全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分｡
9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学､跑步､骑行､交友及健身饮食指导､装备购买等--站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程｡不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划｡小吴根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图｡根据该折线图，下列结论正确的是（ ）．

A. 月跑步里程逐月增加
B. 月跑步里程最大值出现在10月
C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据折线图的信息，逐项判断，即可求出结论.
【详解】由所给折线图可知：月跑步里程并不是逐月递增，故选项A错误；
月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；
月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项C正确；
1月至5月的月跑步里程相对6月至11月，波动性更小，
故选项D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.
10.如图，是正方体的棱的中点，下列命题中真命题是（ ）

A. 过点有且只有一条直线与直线､都相交
B. 过点有且只有一条直线与直线､都垂直
C. 过点有且只有一个平面与直线､都相交
D. 过点有且只有一个平面与直线､都平行
【答案】ABD
【解析】
【分析】
点不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过点有且只有一条直线与直线､都相交， A正确．过点有且只有一条直线与直线､都垂直， B正确．过点有无数个平面与直线､都相交，C不正确．过点有且只有一个平面与直线､都平行，D正确．
【详解】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取的中点，则，且，设 与交于，则点､､､､ 共面，
直线必与直线相交于某点．
所以，过点有且只有一条直线与直线､都相交；故A正确．
过点有且只有一条直线与直线､都垂直，此垂线就是棱，故B正确．
过点有无数个平面与直线､都相交，故C不正确．
过点有且只有一个平面与直线､都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查空间中过定点的直线与已知直线是否相交、平行以及过定点的平面与已知直线是否相交、平行，基础题.
11.已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）．

A. 函数的解析式为
B. 函数的解析式为
C. 函数图象的一条对称轴是直线
D. 函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据最高点坐标求出，根据最高点坐标与相邻的轴交点坐标，求出周期，进而求出，再由点坐标求出，求出的解析式，可判断选项A；根据坐标变换关系，求出的解析式，可判断选项B；将代入，即可判断C选项；求出的单调递增区间，即可判断选项D.
【详解】由图可知，，，所以，
解得，故．
因为图象过点，所以，即．
因为，所以，所以，
故．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，
所得到的函数解析式为，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式
．故B项正确；
当时，，即时，
不取最值，故不是函数的一条对称轴，
故C项错误；
令，
得，
故函数的单调增区间是，
当时，在区间上单调递增．
所以D项正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查由函数图象求解析式、三角函数图象变换关系、三角函数的性质，属于中档题.
12.已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）．
A. 抛物线的方程是 B. 抛物线的准线方程是
C. 直线的方程是 D. 的面积是
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据已知可得横坐标和，再由焦半径公式，求出，判断选项A；求出抛物线的准线方程，判断选项B；设直线方程为，与抛物线方程联立，设得到关系，进而求出的值，建立的方程求解，可判断选项C；利用利用关系，即可求解，判断选项D.
【详解】设，，
根据抛物线的定义可知，
又的中点到轴的距离为6，∴，
∴，∴．
∴所求抛物线的方程为．故A项正确；
抛物线的准线方程是，故B项错误；
设直线的方程是，联立，
消去得，则，
所以，解得，
故直线的方程是或．故C项错误；
．
故D项正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．
【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式，即可求解结论.
【详解】存在一个无理数，它的平方不是有理数，
全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，
故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．
故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数
【点睛】本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.
14.在的展开式中项的系数为__________．
【答案】1120
【解析】
【分析】
求出二项展开式的通项，令的指数为2，求出项数，即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中含项的系数为．
故答案为：
【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.
15.已知直线（其中，）与圆交于点，，是坐标原点，则__________，__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先求出圆心到直线的距离，再由相交弦长公式，求出；设的中点为，则有，利用，根据数量积的运算律，即可求解.
【详解】由，可知，
圆心到直线的距离，
．

设的中点为，则，
，
.
故答案为：；.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.
16.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.
【详解】因为“牟合方盖”的体积为，
又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，
所以正方体的内切球的体积球，
所以内切球的半径，所以正方体的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即，
所以，所以正方体的外接球的表面积为．
故答案为：.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键，属于基础题.
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17.①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，．且 ，求的面积的大小．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
已知条件等式结合面积公式和余弦定理求出，若选①由正弦定理求出边，利用两角和正弦公式求出角，再由面积公式，即可求解.若选其它条件，结果一样.
【详解】因为，，
，所以．
显然，所以，又，所以．
若选择①，由，
得．
又
，
所以．
若选择②，由，得，
，所以．

，
所以．
若选择③，
所以，即，
所以，又，
所以，解得，
所以
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.
18.已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得，由累加法可得，进而求出的通项公式；
（2）由（1）得，用错位相减法，即可求出的前项和．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
，
…
，
所以．
又，所以，所以．
又，也符合上式，
所以对任意正整数，．
（2）结合（1）得，所以
，①
，②
，得，
，
所以．
【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19.如图，在三棱柱，中，侧面菱形，是中点，平面，平面与棱交于点，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由已知可得平面，由线面平行的性质定理，可得，再由面面平行的性质定理，可证，即可证明结论；
（2）根据已知可得两两互相垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，确定出点坐标，求出平面法向量坐标，由空间向量的线面角公式，建立关系，即可求解.
【详解】（1）证明：在三棱柱中，侧面为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，因为平面，
且平面平面，所以．
因为在三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面平面．
所以，故四边形为平行四边形．
（2）在中，因为，
是的中点，所以．
因为平面，所以，，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图空间直角坐标系．
设，，在中，，
，所以，所以，
，，，
则所以，．
因为，所以，
即．因为，所以．
设平面的法向量为．
因为，即，所以．
令，则，，所以．
因为，
所以，即，
所以或，即或，
所以或．

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线平行以及空间向量法求线面角，注意空间平行关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
20.某服装店每年春季以每件15元的价格购入型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．
前2月内的销售量（单位：件）
30
40
50
频数（单位：年）
6
8
4


（1）若今年该季度服装店购进型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售型号童裤获取利润的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件型号童裤时所获得的平均利润最大．
【答案】（1）分布列见解析，元；（2）40件
【解析】
【分析】
（1）先求出利润的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出对应的概率，得到的分布列，求出期望；
（2）分别求出购进型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
【详解】（1）设服装店某季度销售型号童裤获得的利润为（单位：元）．
当需求量为30时，，
当需求量为40时，，
当需求量为50时，．
所以，．
故的分布列为

400
600





则（元）．
所以服装店今年销售型号童裤获得的利润均值为533.3元．
（2）设销售型号童裤获得的利润为．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进型号童裤30件时，
；
当购进型号童裤40件时，

；
当购进型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件型号童裤时所获得的平均利润最大．
【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望，考查应用数学知识解决实际问题，考查计数学建模、数学计算能力，属于中档题.
21.已知椭圆的左､右焦点分别为，，以，，和为顶点的梯形的高为，面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为椭圆上的任意两点，若直线与圆相切，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由梯形的高求出，由梯形的面积，建立关于方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；
（2）设直线的方程为：，利用直线与圆相切，得到关系，直线方程与椭圆方程联立，设，，得出关系，由相交弦长公式，求出关于的函数，根据函数特征，求出其范围，再由，即可求出结论.
【详解】（1）由题意，得，且，
∴，又，解得，．
∴椭圆的方程为．
（2）如图，设，，
当圆的切线的斜率存在时，设的方程为：，
切点为，连结，则．
因为与圆相切，
所以，所以．
联立，整理得．


所以，．
又



．
①若时，
．
因为，
当且仅当时，“”成立．

所以
即．
②当时，，所以．
又，
所以．
当圆的切线斜率不存在时，则的方程为或．
此时，的坐标分别为，或，．此时．
综上，面积的取值范围为．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
22.已知函数，，、.
（1）若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由得出，由此得出，设切点为，由题意得出，可求出的值；
（2）由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析得出，由此可得出实数的取值范围；
（3）根据题意，对函数求导可得，对实数分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，，
设函数与函数相切于点，则，
由题意可得，解得，因此，；
（2）由题意得，恒成立．
令，，则，
再令，则，令，解得.
故当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
从而，函数在上有最小值，
即有在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，故，所以.
因此，实数的取值范围是；
（3）由题意可得，其导数.
①当时，对任意的恒成立，则函数在上为增函数，
若函数在上总有零点，则有，解得；
②当时，令，解得.
当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
则函数在处取得最小值，即.
（i）当时，即当时，对任意的，，
则函数区间上单调递增，
若函数在区间上恒有零点，则，解得；
（ii）当时，即当时，若，则；若，则.
则函数在上单调递减，在上单调递增.
，可得.
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上单调递减，则，.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性和最值，同时也考查了函数的零点问题以及导数的几何意义，解题时注意导数与函数单调性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.