山东省济南市历城第二中学2020届高三下学期高考模拟考试（五）数学试卷
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山东省济南市历城第二中学2020届
高三下学期高考模拟考试（五）数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则阴影部分表示的集合是
A． B．
C． D．
2．已知复数，其中是虚数单位，则
A． B．1 C．5 D．
3．已知的展开式中的常数项为8，则实数m=
A．2 B． C． D．3
4．已知函数，则“”上是单调函数”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知定义在R上的函数的周期为4，当时，，则
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，则
A．1 B． C．2 D．3
7．现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为
A．1 B． C． D．
8．抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生。80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
10．下列说法正确的是
A．“c=5”是“点(2，1)到直线的距离为3”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．直线与直线平行，且与圆相切
D．离心率为的双曲线的渐近线方程为
11．已知是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若
B．若
C．若
D．若所成的角和所成的角相等
12．已知函，则下列结论正确的是
A．是周期为的奇函数
B．上为增函数
C．内有21个极值点
D．上恒成立的充要条件是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知▲．
14．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如右图所示．今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有▲种．
15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为▲．
16．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则双曲线C的渐近线方程为▲，离心率为▲．
(本题第一空2分，第二空3分．)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列的公差为，等差数列的公差为2d．设分别是数列的前n项和，且，_________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(12分)
在中，内角A，B，C的对边分别为，且
(1)求A；
(2)若，且△ABC面积的最大值为，求△ABC周长的取值范围．
19．(12分)
在四边形ABCP中，；如图，将△PAC沿AC边折起，连结PB，使PB=PA，求证：
(1)平面平面PAC；
(2)若F为棱AB上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为，求二面角的大小．
20．(12分)
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工B：360， 420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元。超出350件的部分每件0.9元．
(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．
21．(12分)
已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆C相交于P，Q两点；当直线经过椭圆C的下顶点A和右焦点时，的周长为，且与椭圆C的另一个交点的横坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M为△POQ内一点，O为坐标原点，满足，若点M恰好在圆O: 上，求实数m的取值范围．
22．(12分)
已知函数．
(1)若函数处取得极值1，证明：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | D | D | A | B | A | C | B | C |
二、多项选择题：
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | ABC | BC | BCD | BD |
三、填空题：
13. 14.11 15. 16.
四、解答题：
17.（10分）
解：方案一：
（1）都是等差数列，且，
，解得……………………………………………………3分
综上，.………………………………………………………………5分
（2）由（1）得：，………7分
…………………………………………………………………10分
方案二：
（1）都是等差数列，且，
……………………………………………3分
，
.
综上，.………………………………………………………………6分
（2）同方案一
方案三：
（1）都是等差数列，且，
……………………………………………3分
，.
综上，.………………………………………………………………5分
（2）同方案一
18.（12分）
解：（1）
整理得……………………………………………………4分
解得（舍去）又
……………………………………………………………………………………6分
（2）由题意知
又，，
………………………………………………………………9分
又
周长的取值范围是……………………………………………………12分
19.（12分）
证明：（1）在
为正三角形，且在
为等腰直角三角形，且…………………………………2分
取AC的中点O，连接OB,OP
……………………………………………………………………4分
平面PAC
平面PAC平面ABC
平面PAC………………………………………………………6分
（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
设，则
……8分
设平面PFC的一个法向量为，则
令
AP与平面PFC所成角的正弦值为，
………………………………………………10分
整理得解得（舍去）
又为平面PAC的一个法向量
二面角的大小为………………………………………………………12分
20.（12分）
解：（1）由题意知甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为
，
众数为330.………………………………………………………………………………2分
（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为X，则
当X=340时，，
当X=360时，，
当X=370时，，
当X=420时，，
当X=440时，，……7分
的分布列为
…………9分
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
360×30×0.65=7020（元）
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
242.7×30=7281（元）……………………………………………………………………12分
21.（12分）
解：（1）由题意知，，
直线的方程为，直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，
（舍去），
椭圆C的方程为…………………………………………………………4分
（2）设,点M为的重心，
，点M在上，
，…………………………………………………………6分
由
，………………………………………………8分
，
即
，………………………………………………………………………10分
由，，解得，
，
…………………………………………………………………………12分
22.（12分）
解：（1）.
函数在处取得极值1，
，
，，…………………………………………………………………………4分
令，为增函数，
.………………………………………………………………………6分
（2）不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立.
令.………………8分
令.，.
上单调递增，且.
有唯一零点.
当单调递减；
当单调递增.
.………………………………………………………………………10分
.由整理得，
令，则方程等价于，而在上恒大于零，
在上单调递增，，
实数的取值范围为.…………………………………………………………12分。
