山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试（全国模拟）数学试题
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数学试题
本试卷共6页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z满足
A. B.2 C. D.8
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知集合则
A. B. C. D.
4.的展开式中，的系数为
A.2 B. C.3 D.
5.函数的图象关于y轴对称，则函数的部分图象大致为
6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(取近似值3.14)
A.0.012 B.0.052
C.0.125 D.0.235
7.已知函数，若等差数列的前项和为，且
A. B.0
C.2020 D.4040
8.在四面体，二面角的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢
复经济正常运行．国人万众一心，众志成城，防控疫情、复
工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行
调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是
A．
B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率
为0.178
C．不到80名职工倾向于继续申请休假
D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
10.已知向量，下列说法正确的是
A. B.向量方向上的投影为
C. D.的最大值为2
11.已知椭圆的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是
A.椭圆C的焦距为2 B.椭圆C的短轴长为
C.的最小值为 D.过点F的圆E的切线斜率为
12.已知函数，则下列结论中，正确的有
A.是的最小正周期
B.在上单调递增
C.的图象的对称轴为直线
D.的值域为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若曲线处的切线与直线平行，则_________.
14.已知圆锥的顶点为S，顶点S在底面的射影为O，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________，点D为母线SB的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线CD与OS所成角的正切值为________.
15．CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会．2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办．在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场．若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种．
16．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为__________．
四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在①；②；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为．且满足_________．
(1)求sinC；
(2)已知的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)
已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的项和．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，为斜边的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，点F满足，.
（1）试探究为何值时，CE//平面BDF，并给予证明；
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面BDF所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知点，点P在直线上运动，请点Q满足，记点Q的为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设，过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证，.
21.（本小题满分12分）
已知函数，证明.
（1）存在唯一的极小值点；
（2）的极小值点为.
22．(本小题满分12分)
十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入．2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：
(1)由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数 (每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差．若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个．让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次)．若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖．现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求Y的数学期望．(精确到0.001)
参考数据：．若随机变量
.
全国高考模拟试题
数学试题参考答案
一、单项选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | D | A | B | D | B | C | B |
二、多项选择题：
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | BD | CD | AD | BD |
三、填空题：
13. 14. 15.360 16.
四、解答题：
17.解：选择条件①：
（1）因为，
所以由正弦定理得，
即，
故. （3分）
又，
所以.
由.
所以. （5分）
（2）由正弦定理得， （6分）
由余弦定理得，
所以. （8分）
于是得的面积，
所以. （10分）
选择条件②：
（1）因为，
由正弦定理得，
即，
于是. （3分）
在，
所以，
. （5分）
（2）由正弦定理得， （6分）
由余弦定理得
，
所以， （8分）
于是得的面积，
所以.（10分）
选择条件③：
（1）因为，
所以由正弦定理得
，
所以， （3分）
因为，
所以，
又，
所以，
所以. （5分）
（2）由正弦定理得， （6分）
由余弦定理得，
所以. （8分）
于是得的面积，
所以. （10分）
18.解：（1）因为，①
所以.②
当时，由①—②得，
即， （3分）
所以.
当. （4分）
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （6分）
（2）由（1）知， （7分）
所以. （8分）
所以，③
则，④
由③—④，得，
所以. （12分）
19.解：（1）当时，CE//平面FBD. （1分）
证明如下：连接AC，交BD于点M，连接MF.
因为AB//CD，
所以AM:MC=AB:CD=2:1
又，
所以FA:EF=2:1.
所以AM:MC=AF:EF=2:1.
所以MF//CE. （4分）
又平面BDF，平面BDF，
所以CE//平面BDF. （5分）
（2）取AB的中点O，连接EO，OD.
则.
又因为平面平面ABCD，平面平面平面ABE，
所以平面ABCD,
因为平面ABCD，
所以.
由，及AB=2CD，AB//CD，得，
由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD，
所以OA=OB=OD=OE，
设OB=1，
所以,
.
所以, （7分）
，
所以.
设平面BDF的法向量为，
则有
所以
取. （9分）
设直线AB与平面BDF所成的角为，
则
.
即直线AB与平面BDF所成角的正弦值为. （12分）
20.解：（1）设，
由，
得，
所以
即
因为点P在曲线上，
所以.
即，整理得.
所以曲线C的方程为. （5分）
（2）直线AB的斜率不上辈子在时，不符合题意；
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为，
.
由
得，
可知， （7分）
直线AE，BE的斜率之和为
.
故AB,BE的倾斜角互补.
.
. （2分）
21.解：（1），
设，
则，
当，
所以.
当时，，
综上所述，当恒成立，
故上单调递增.
又，
由零点存在定理可知，函数上存在唯一的零点.
结合单调性可得上单调递减，在上单调递增，
所以函数存在唯一极小值点. （5分）
（2）由（1）知，，
，
而，
所以，
即，
，
故极小值点，
且，
即
由（*）式，得
.
由，
得，
所以，
即. （12分）
22.解：（1）由题意知：
所以样本平均数为（万元），
所以，
所以，
而.
故1万户农户中，Z落在区间的户数约为. （4分）
（2）（I）每次取球都恰有的概率取到红球.
则有，
，
故为等比数列. （7分）
（II）由（I）可知，当，
.
故Y的数学期望为
设,
则，
两式作差得，
.（12分）
