山西省大同市2020届高三模拟考试数学（文）
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数学（文科）试卷(满分150分，答题时间120分钟) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则（ ）A． B． C． D．2. 已知集合，，，则的元素个数为（ ）A． B． C． D．3. 已知，，则（ ）A． B． C． D． 4. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下:小明说:“鸿福齐天”是我制作的；小红说:“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说:“兴国之路”不是我制作的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）A．小明 B．小红 C. 小金 D．小金或小明5. 函数在上的图像大致为（ ）A． B． C. D．6. 为了了解公司名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取人征求意见，有下述三个结论:①若号员工被抽到，则号员工也会被抽到；②若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取了人；③若号员工未被抽到，则号员工一定未被抽到.其中正确的结论个数为（ ）A． B． C. D．7. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）A． B． C. D．8. 若，则（ ）A． B． C. D．9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（ ）A． B． C. D．10.已知双曲线的左、右焦点分别为，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的倍，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C. D．11. 在中，角所对的边分别为.若时，则的面积为（ ）A． B． C. D．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A． B． C. D． 第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 曲线在处的切线方程为 ．14. 设为正项等比数列的前项和，若，则 ．15. 函数在上的值域为 ．16. 已知四棱锥中的外接球的体积为，平面，四边形为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示. 求的值；求地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；不经过计算，直接给出地区家实体店经济损失的平均数与的大小关系.18. 记为等差数列的前项和，且.求数列的通项公式以及前项和；记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 19. 四棱锥如图所示，其中四边形是直角梯形，平面与交于点，直线与平面所成角的余弦值为，点在线段上.若直线平面，求的值；若，求点到平面的距离.20. 已知函数判断函数在上的单调性；若，求证:当时，21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若线段的中点坐标为，求直线的斜率；若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.23.选修4-5：不等式选讲已知.求证:.若，求证:.
文科数学参考答案和评分标准一、选择题1.【答案】【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，，故，故选.2. 【答案】【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，，则，故，则的元素个数为，故选 .3．【答案】【命题意图】本题考查指对数的大小比较，考查推理论证能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，故选.4. 【答案】【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及分类讨论思想.【解析】依题意，三个人制作的所有情况如下所示: 鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则满足；若小金的说法正确，则满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红，故选.5. 【答案】【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】依题意，，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除；而，排除，排除.故选.6. 【答案】【命题意图】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想.【解析】依题意，将这人分为组，每组人，即分段间隔为；因为，故①正确；若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取的号码为.共计人，故②错误；若号员工未被抽到，则号员工可能被抽到，故③错误.故选.7. 【答案】【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】依题意，，而，即，解得，则，故选.8. 【答案】【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】，，故选.9. 【答案】【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.【解析】程序框图是为了计算个数的方差，即输出的，观察可知，选.10. 【答案】【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故，因为的面积是的倍，故，不妨设，则直线，故.而，则，则.即，故，故选.11. 【答案】【命题意图】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】因为，且，解得，，而，，所以，，故因为，，故，故，故选.12. 【答案】【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】设，由知，由在椭圆上，可知四边形为矩形，； 由，可得由椭圆的定义可得，平方相减可得，所以，而，即，由，可得，由，可得.所以，所以，故选二、填空题13. 【答案】【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】依题意，，故.故所求切线方程为. 14. 【答案】【命题意图】本题考查等比数列的通项公式.前项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】记数列的公比为，显然，则，解得；而，故，故，解得，故 15. 【答案】【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】依题意，，当时， 故，故 16. 【答案】【命题意图】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及数形结合思想.【解析】依题意，，将四棱锥补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，又，当且仅当时等号成立，此时，，要使得四棱锥的体积最大，只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，又，故体积的最大值为.三、解答题17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想.【解析】依题意.，解得.由图可知，地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为，第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，故所求中位数在之间，故所求中位数为18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前项和公式、等比数列的前项和公式.考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】记数列的公差为，故， 故，依题意，当时，当时，当时，当时，当时，，，所以19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.【解析】连接.因为，故设，得因为平面，平面平面平面，故，故在平面内作于点，因为平面，所以，又，得平面 .因为平面，所以.又，所以平面.因为直线与平面所成角的余弦值为即又，故则，而，得，即点到平面的距离为20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.【解析】依题意，令，则，故当时，，当时，故，故在上恒成立，故，即函数在上单调递减.依题意，下面证明:①当时，；②当时，；事实上，，则，所以在上单调递增，故，则，又，则令，则由，得的极小值点为.若.则则，故，若，即，则在上单调递减.故.综上所述，当时，，则，21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.【解析】设.则，两式相减，可得即解得，即直线的斜率为显然直线的斜率不为，设直线，联立，消去整理得，显然，故故的面积令，其中22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，考查推理论证能力以及数形结合思想.【解析】依题意，曲线即，故，即因为，故，即，即.将，代入，得，将，代入，得，由，得.即解得.则又，故，故的面积23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.【解析】要证即证，即证，即证，即证，即证， 该式显然成立，当且仅当时等号成立，故由基本不等式得，当且仅当时等号成立.将上面四式相加，可得，即.
