江苏省南通市2020届高三下学期阶段性模拟考试 数学
展开江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题 2020.05(总分160分，考试时间120分钟) 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则 ▲ ．2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2x﹣y﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值为 ▲ ．6．函数的值域为 ▲ ．7．等差数列中，若， 则 ▲ ．8．现用一半径为10 cm，面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm3．9．已知，且，，则的值为 ▲ ．10．已知实数满足，则的取值范围是 ▲ ． 11．若函数是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．12．在△ABC中，，，则的值为 ▲ ．13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间． 16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：． 17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：，直线l：．为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l，求△PMN的面积． （2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明． 18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？ 19．(本小题满分16分)设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．（1）当时，求；（2）当时， （ⅰ）求证：数列是等差数列；（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式． 20．(本小题满分16分) 若实数满足，则称为函数的不动点．（1）求函数的不动点；（2）设函数，其中为实数．① 若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是 的不动点（是函数的导函数），求实数的取值范围；② 令，若存在实数，使，，， 成各项都为正数的等比数列，求证：函数存在不动点． 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学附加题 2020.05（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵M＝，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1).(1) 求a,b的特征值. (2) 求矩阵M的特征值. B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长． C．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． [必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值； （2）求－＋－＋…＋－的值． 23．（本小题满分10分）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．（1）若m，n，求概率；（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）． 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 4 6. 7. 40 8. 9. 10. [1,7] 11. 12. 1 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)解：（1）由，得，即，所以． 因为，所以，所以，即． （2）由（1）知，，所以 ． 令， 得，所以函数的单调增区间是，．16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连接， 因为，，所， ………2分又，所以， …………4分又平面， 平面，所以平面. ……… 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面， …………………8分又平面，所以， …………………10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面， …………………12分又平面，所以． …………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为， 由条件得，，解得，即直线MN的方程为． 因为，，所以，即，所以． 又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，所以△PMN的面积为． （2）直线PM与圆O相切，证明如下： 设，则直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为． 联立方程组解得点的坐标为，所以，由于，，所以， 所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证． 18. 设正三角形长为，如图，设，则，……………3分若以为底、为高，则圆柱底面半径，……………… 6分当时，；当时，；所以……………………………………………………………8分若以为底、为高，则圆柱底面半径………………………11分，，令，得、当时，；当时，；所以 ………………………………………………………14分因为，所以以为底、为高，且时，体积最大。……………… 16分19．解：（1）当，，时，．①当时，，所以．当时，．②①－②得：．因为，所以，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）（ⅰ）当，，时，．③当时，．④③－④得：，⑤所以．⑥⑤－⑥得：．因为，所以即，所以是等差数列．（ⅱ）因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以或．当时，，，，所以 不符合题意．当时，，，所以满足题意．所以． 20.解：（1）由题意可知，．令，．故．…………………………2分列表：x10极大值所以，方程有唯一解．所以函数的不动点为．………………………………………………4分（2）① 由题意可知………………………………………………6分消去，得，，所以．…………………………8分② ．由题意知，，，成各项都为正数的等比数列，故可设公比为，则故方程有三个根，，．………………………………11分又因为，所以为二次函数，故方程为二次方程，最多有两个不等的根．则，，中至少有两个值相等．……………………………………………………………………13分当时，方程有实数根，也即函数存在不动点，符合题意；当时，则，，故，又因为各项均为正数，则，也即，同上，函数存在不动点，符合题意；当时，则，，同上，函数存在不动点，符合题意；综上所述，函数存在不动点．…………………………………………………16分 附加题参考答案21A. B．解：直线l的参数方程 (t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－3，…… 2分圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0． …… 5分圆C的圆心(2，0)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝． …… 7分又圆C的半径r＝2，所以直线l被圆C截得的弦长为2＝． …… 10分 C. 解：设，即 所以的最小值为，所以． 当时，不等式即为，解得，矛盾； 当时，不等式即为，解得，所以； 当时，不等式即为，解得，所以． 综上，实数的取值范围是． 22. （1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1． （2）ak＝C，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑＋＝＋＝＝＝，则＝(＋)，因此－＝(－)． 故－＋－＋…＋－＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝(－1)＝－． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ． （2）依题意，（…）．设 则．而 （＊）．（＃）因为的判别式（显然在时恒成立）， 所以．又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以，即(当且仅当时，取“=”)，所以的最大值为，即的最大值为．
