江苏省南通市四校联盟2020届高三下学期模拟测试数学试题

江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上）1．已知集合，，则      ▲     ．2.复数，（其中是虚数单位），则复数的共轭复数为   ▲   ．3．设向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，若∥，则实数k的值为   ▲   ．14．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为　　．5．函数f(x) = 的定义域为 ▲.(-3/4,1]6．已知命题p：－1<x－a<1，命题q：(x－4)(8－x)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是   ▲   ．[5，7]  7．在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2，则该棱锥的体积为　  ▲  　．32/38．若函数()的图象关于直线对称，则＝   ▲   ．9．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为   ▲   ．10．在所在的平面上有一点，满足，则=   ▲   ．11.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则=     ▲     ． 312．己知x(0，3)，则的最小值为    ▲     ．13.若函数f(x) = x3-ax, x>0存在零点，则实数a的取值范围为▲.[2,+∞)14．已知，，若同时满足条件：①，或；②，．则的取值范围是　　．二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．（1）证明：连结交于点，连结，因为四边形是正方形，对角线交于点，所以点是的中点，所以．又因为点是侧棱的中点，所以．在中，,所以．………………4分又因为，，所以平面．………………7分（2）证明：连结.因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面，又平面，所以．因为底面是菱形，所以．又，,所以．………………10分又因为,所以，因为，所以，所以．………………14分 16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．（1）若c＝2a，求的值；（2）若C－B＝，求sinA的值．解：（1）解法1：在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝．………………4分又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分解法2：因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝．………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，                  所以＝．………………6分（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分又0＜B＜π，所以sinB＝＝，所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分17．（14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，且过点．过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，点在椭圆上，且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程．.解：（1）由题意可知，，且，又因为，解得，………2分所以椭圆的标准方程为………4分；（2）若直线的斜率不存在，则易得，，得，显然点不在椭圆上，舍去………5分；因此设直线的方程为，设，将直线的方程与椭圆的方程联立，整理得………7分，因为，所以………8分，则由，得………10分将点坐标代入椭圆的方程，得………11分;将带入等式得，………12分，因此所求直线的方程为………14分设直线的方程为求解亦可18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知．（1）当重合时，求路灯在路面的照明宽度；（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．解：（1）当重合时，由余弦定理知，，所以……2分，因为，所以，因为，所以，……4分因为，所以……6分在中，由正弦定理可知，，解得……8分；（2）易知到地面的距离，……10分由三角形面积公式可知，，所以,……12分又由余弦定理可知，，……13分当且仅当时，等号成立，所以，解得……14分；答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为.……16分19．（本小题满分16分）已知函数（）的图象为曲线．（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由． 【解】（1），则， ----------4分（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分得：；-------------------------------9分（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，，过A的切线方程是： ，-----------------11分同理：过B的切线方程是，     则有：，得，----------------------13分    又由，    即    ，即    即，    得，由得，这与矛盾，所以不存在----------16分20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立．（1），①求数列的通项公式；②若求数列的前项的和（2）是否存在实数λ，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)①若，因为则，.又∵，，∴，∴，化简，得.    ①∴当时，.    ②②－①，得，∴.∵当时，，∴时上式也成立，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，.………………4分②因为，∴所以所以将两式相减得：所以………………8分(2)令，得.令，得.要使数列是等差数列，必须有，解得.当时，，且.………………10分当时，，整理，得，，从而，化简，得，所以. 综上所述，，所以时，数列是等差数列. ………………16分数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟）21A．（本小题满分10分）己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a，b的值：（2）求矩阵A的逆矩阵．解：（1）因为，所以所以．………………5分（2），．………………10分21B．在极坐标系中，已知 1，， 9，，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．解：由题意，线段的中点坐标为，设点为直线上任意一点，在直角三角形中，，所以，的极坐标方程为，………………5分令，得，即．（8分）所以，的面积为：．………………10分22.(本小题満分10分)（1）求实数m，n的值：（2）若对任意实数x，都有成立.求实数的取值范围.23．（本小题满分10分）已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．解：（1）．………………3分（2）∵∴………………7分∴．∵，∴能被整除．………………10分