江苏省宜兴中学2020届高三模拟试卷（6）数学试题

宜兴中学高三年级数学模拟（六）数学Ⅰ参考公式：样本数据，，…，的方差，其中柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．锥体的体积，其中是椎体的底面积，是椎体的高．一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上1．已知，，则________．2．已知，则________．3．已知，为实数，为虚数单位，且，则________．4．已知数列满足：，，则________．5．已知为偶函数，且．当时，，若，，则________．6．已知随机变量，当方差取到最大值时，在的展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为________．7．已知点为圆：上的动点，过原点的直线与曲线：交于，两点，则的最大值为________．8．已知轴为曲线的切线，则的值为________．9．在直线上任取一点，过点向圆做两条切线，其切点分别为，，则直线经过一个定点，该定点坐标为________．10．已知正三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿线段折起，求使四棱锥体积最大时，四棱锥的外接球的体积为________．11．已知，则的最小值________．12．________．13．已知函数，，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围为________．14．已知点，在内，且，则________．二．解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若为的中点，求的长度．16．如图所示，正四棱锥中，底面的边长为2，侧棱长为，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为上的一点，且，则为何值时，平面?并求此时三棱锥的体积．17．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知，米，Q到直线OM，ON的距离分别为300米，米．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．（Ⅰ）求有轨观光直路AB的长；（Ⅱ）已知在景点Q的正北方600米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径（在变化），且t分钟时，米．当喷泉表演开始时，一观光车（大小忽略不计）正从休息区B沿（Ⅰ）中的轨道以米/分钟的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．18．已知圆：，抛物线C：的焦点为，过的直线与抛物线C交于A，B两点，过F且与l垂直的直线与圆有交点．（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；（Ⅱ）求面积的取值范围．19．已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）当函数有两个极值点，，且．证明：．20．设等差数列的首项为0，公差为，；等差数列的首项为0，公差为b，．由数列和构造数表，与数表．记数表中位于第行第列的元素为，其中．．记数表中位于第行第列的元素为，其中．如：，．（Ⅰ）设，，请计算，，；（Ⅱ）设，，试求，的表达式（用，表示），并证明：对于整数，若不属于数表，则属于数表.   数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】：本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—2：矩阵与变换]已知矩阵，．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求．B．【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，满足，求面积的最大值与最小值．C．【选修4—5：不等式选讲】已知，，为正实数，满足．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【必做题】第22题、第23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在三棱柱中，，平面，，，分别为，中点．（Ⅰ）求直线DE与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角的大小．23．设N为正整数，区间（其中，，，，）同时满足下列两个条件：①对任意，存在k使得；②对任意，存在，使得（其中，2，，，，，N）．（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）（Ⅱ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．               数学Ⅰ答案一．填空题1．   2．   3．1   4．64   5．1   6．   7．78．    9．    10．   11．   12．13．   14．二．解答题15．解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得：．∴．在中，由正弦定理得：．（Ⅱ）∵∴为钝角.．．∴16．解：（Ⅰ）在中，∵，连接BD，设BD与AC交于点O，连接OE．∵，分别是PD，BD的中点，∴．又∵平面，平面AEC∴平面AEC．（Ⅱ）连接PO，显然，，∴平面PAC，又∵平面PAC∴．当时，平面BDF．在中，，，，∴，．此时，．17．解：（Ⅰ）以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意知，，．直线方程为    （1）由，得，故．∴直线的方程为    （2）联立（1）（2），得，即．米．故有轨观光直路的长米．（Ⅱ）由题意知，，∴．若喷泉不会喷洒到观光车上，则满足对恒成立．即．当时，上式成立；当时，，，当且仅当时取等号．∵，恒成立．故观光车在行驶途中不会被喷泉喷洒到．18．解：（Ⅰ）由题意知，l的斜率存在且不为0．设l：，则l′：．∴得：，直线的斜率的取值范围为．（Ⅱ）设，，l直线方程与抛物线方程联立，得：．由韦达定理，∴．设点O到直线l的距离为．由．∵  ∴∴．所以面积的取值范围是．19．解：（Ⅰ）当时，．∴．，．．∴在处的切线方程．（Ⅱ）的定义域．；①当时，即，此时在单调递减；②当时，即或，（i）当时，∴在，单调递减，在单调递增．（ii）当时，∴在单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在，单调递减，在单调递增．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有两个极值点，，且满足：由题意知，．∴令．则.在单调递增，在单调递减．∴．即．20．解：（Ⅰ）由题意，数列的通项公式为，数列的通项公式为．得，，则，．得，，则．（Ⅱ）证明：已知，，得数列的通项公式为，数列的通项公式为．所以，，，．所以，，，，．所以，若，则存在，，使.若，则存在，，，使．因此，对于整数，考虑集合，即．下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即．所以，与矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，．则存在，使，，，即，，，．由已证可知，若，则存在，，使．而，所以为负整数，设，则，且，，，．所以，当，时，对于整数，若，则成立．21．【选做题】A．[选修4—2：矩阵与变换]解：（Ⅰ）（Ⅱ）由题意，得．∴．B．[选修4—4：坐标系与参数方程]解：（Ⅰ）由，，的直角坐标方程由（为参数），消参，得：曲线的普通方程（Ⅱ）由P的极坐标为，得直角坐标，则．点M到直线l的距离，．∴故面积的最大值，最小值．C．[选修4—5：不等式选讲]解：（Ⅰ）由题意知，a，b，∵，，∴故又∵∴，当且仅当，“”成立．（Ⅱ）∵，，∴∴，当且仅当，“”成立．【必做题】22．解：（Ⅰ）方法一：定义法∵平面，平面∴又∵，∴平面，又∵平面∴显然，在中，．在中，，即．又∵，，∴平面，显然，．设点到面的距离为，直线与平面所成角为由等体积法，∴．故直线DE与平面所成角的正弦值．方法二：空间向量（略）（Ⅱ）方法一：找平面角由（Ⅰ）知，平面，是二面角的平面角．在中，．∴．故二面角的大小．方法二：空间向量（略）23．解：（Ⅰ）可以等于，但不能等于．（Ⅱ）的最大值存在，且为200．解答如下：由②，得，，…，互不相同，且对于任意，．不妨设．如果，那么对于条件②，当时，不存在，使得．这与题意不符，故．如果，那么，这与条件②中“存在，使得”矛盾，∴．∴，，，，则．故．若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，∴．故的最大值存在，且为200．