江西省萍乡市上栗县上栗中学2020届高三第二次模拟考试数学（文科）试题

数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（    ）A. B. C. D.3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A.7 B.9 C.11 D.144.已知，则（    ）A. B. C. D.25.已知，则下列结论正确的是（    ）A. B. C. D.6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（    ）A. B.C. D.7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（    ）A.1  B.C.2  D.8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（    ）A.8 B. C. D.139.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（    ）A. B. C. D.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（    ）A. B. C. D.11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（    ）A. B. C. D.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（    ）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题90分）考生注意：本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______.14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______.15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为______.16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列满足，，.（Ⅰ）求证：为等比数列；（Ⅱ）求的通项公式.18.（本小题满分12分）指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关. 肥胖不肥胖合计高血压   非高血压   合计    P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：，.19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，求几何体的体积.20.（本小题满分12分）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.（Ⅰ）求M的轨迹方程；（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调性；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数的最大值为m.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.文科数学答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（C）A. B. C. D.解：，，故选C.2.已知复数z满足，则（D）A. B. C. D.解：，故选D.3.已知等差数列的前n项和为，若，，则（D）A.7 B.9 C.11 D.14解：法一：由，，得，解得，，故选D.法二：，又，，，故选D.4.已知，则（A）A. B. C. D.2解：，，故选A.5.已知，则下列结论正确的是（B）A. B. C. D.解：法一：，，在上单调递增，，在上单调递减，故选B.法二：取，，则，，，，显然，故选B.6.将函数的图像向左平移个单位得到函数，则函数的图像大致为（    ）A. B.C. D.解：依题意得，则，，，显然该函数为奇函数，且当时，，故选D.7.如图，圆柱的轴截面为边长为2的正方形，过且与截面垂直的平面截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为（C）A.1  B.C.2  D.解：为椭圆的长轴，，，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即，，，，故选C.8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（C）A.8 B. C. D.13解：依题意得输出S的值为1，2，3，5，8，13的平均数，即，故选C.9.在平面直角坐标系中，已知双曲线E：（，）的右焦点F，若存在平行于x轴的直线l，与双曲线E相交于A，B两点，使得四边形为菱形，则该双曲线E的离心率为（B）A. B. C. D.解：如图，由对称性知，为边长为c的等边三角形，在双曲线E上，，，，解得，故选B.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（C）A. B. C. D.解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，1，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为，故选C.11.已知函数（）有两个零点，则a的取值范围是（B）A. B. C. D.解：（），当时，，在上单调递增，不合题意，当时，时，；时，，在上单调递减，在上单调递增，，依题意得，取，，则，，且，，令，则，在上单调递增，，，故a的取值范围是，故选B.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则（B）A.B.C.D.解：正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为，每段圆弧的半径r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长，圆的中心运动轨迹长也为，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足，，故选B.第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，满足，，，则与的夹角为.解：，，，，与的夹角为.14.设x，y满足约束条件，则的最大值是.解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过时取得最大值，即，15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为2.解：由余弦定理知，，，.16.如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为.解：设O为正方形的中心，的中点为M，连接，，，则，，，如图，在截面中，设N为球与平面的切点，则N在上，且，设球的半径为R，则，，，则，，，设球与球相切于点Q，则，设球的半径为r，同理可得，，故小球的体积.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列满足，，.（Ⅰ）求证：为等比数列；（Ⅱ）求的通项公式.解：（Ⅰ）由，得，即又，是以为首项，为公比的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，…，（），累加得又，（）又也符合上式，18.（本小题满分12分）指数（身体质量指数，英文为Body Mass Index，简称）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，体重（）/身高（）的平方，根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖，某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求被调查者中肥胖人群的平均值；（Ⅱ）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关. 肥胖不肥胖合计高血压   非高血压   合计    P（）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：，.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，200名高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为1000名非高血压患者中，值在的人数为，在的人数为，在的人数为被调查者中肥胖人群的平均值（Ⅱ）由（Ⅰ）知，200名高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖1000名非高血压患者中，有人肥胖，人不肥胖. 肥胖不肥胖合计高血压70130200非高血压2307701000合计3009001200有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关19.（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.，平面平面.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，求几何体的体积.解：（Ⅰ）取的中点E，连接，，，是正方形，，又平面平面，平面，又平面，又，平面，，平面，四边形为平行四边形，，四边形为平行四边形，平面又平面，平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求几何体为四棱锥和直三棱柱的组合体，，，平面，平面，四棱锥的体积直三棱柱的体积所求几何体的体积20.（本小题满分12分）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.（Ⅰ）求M的轨迹方程；（Ⅱ）设M位于第一象限，以为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.解：（Ⅰ），，当时，M的坐标为当时，，，的方程为由得，验证当时，也满足M的坐标满足方程，即M的轨迹方程为（Ⅱ）法二：设（，），则，，圆的方程为令得，即，，即，轴，，，直线的方程为联立，消去y整理得，解得或（舍），即A为抛物线的焦点，法二：作轴于O，轴于，则又A为抛物线的焦点，，故圆与y轴相切于点N，，，直线的方程为联立，消去y整理得，解得或（舍），即A为抛物线的焦点，21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调性；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.解：（Ⅰ）法一：由，知当时，，，，此时当时，，，，此时在上单调递减，在上单调递增法二：由，知令（），则，在上单调递增.，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不等式等价于令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最小值，故实数a的取值范围是请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，（），交曲线E于点A，B，交曲线E于点C，D.（Ⅰ）求曲线E的普通方程及极坐标方程；（Ⅱ）求的值.解：（Ⅰ）由E的参数方程（为参数），知曲线E是以为圆心，半径为2的圆，曲线E的普通方程为令，得，即曲线E极坐标方程为（Ⅱ）依题意得，根据勾股定理，，分将，代入中，得，设点A，B，C，D所对应的极径分别为，，，，则，，，23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数的最大值为m.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c为正数，且，求证：.解：（Ⅰ）的定义域为，，当且仅当，即或时取等号，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，相加得，当且仅当时取等号..