辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）
展开2020年大连市高三第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，其中第II卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
(1)设集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{－1，0，1，2，3}，则集合A∩B为
(A){－2，－1，0，1，2} (B){－1，0，1，2}
(C){－1，0，1，2，3} (D){－2，－1，0，1，2，3}
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2，则z的虚部为
(A)－1 (B)1 (C)－i (D)i
(3)下列函数中是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数的是
(A)y＝ln|x| (B)y＝cosx (C)y＝－x2 (D)y＝x3
(4)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝12，则S8的值为
(A)14 (B)28 (C)36 (D)48
(5)PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35µg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m'空气质量为二级，超过7Sµg/m3为超标。如图是某地1月1日至10日的PM2.5(单位：µg/m3)的日均值，则下列说法正确的是
(A)10天中PM2.5日均值最低的是1月3日 (B)从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高
(C)这10天中恰有5天空气质量不超标 (D)这10天中PM2.5日均值的中位数是43
(6)已知抛物线y2＝4x.上点B(在第一象限)到焦点F距离为5，则点B坐标为
(A)(1，1) (B)(2，3) (C)(4，4) (D)(4，)
(7)设非零向量m，n，则“m⊥n”是“|m＋2n|＝|m－2n|”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)如图是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象，则ω，φ的值分别为
(A)1， (B)1，－ (C)2，－ (D)2，
(9)设数列{an}的前n项和为Sn。若a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则S5值为
(A)363 (B)121 (C)80 (D)40
(10)已知a>0，b>0，，则a＋b的最小值为
(A) (B) (C)2 (D)4
(11)已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是
(A)若a//α，b//β，a//b，则α//β (B)若α⊥β，a⊥α，则a//β
(C)若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α (D)若α//β，a//α，则a//β
(12)《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P(A|B)＝
A. B. C. D.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
(13)已知x，y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值为 。
(14)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为 。
(15)定义在(1，＋∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x。则f(6)的值是 。
(16)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，二面角A1－BD－P的平面角为α，用图中字母表示角α为 ；sinα的最小值是 。
三解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(17)(本小题满分12分)
设函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2(x＋)。
(I)求f(x)的单调递增区间；
(II)在锐角△ABC中，∠B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝，c＝1，求b。
(18)(本小题满分12分)
某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
(I)写出频率分布直方图(高一)中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小(只要求写出结论)；
(II)估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；
(III)由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N(μ，σ2)。其中µ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于(14.55，38.45)的人数，求X的数学期望。
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544。
(19)(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点。
(I)证明：OE//平面ACC1A1；
(II)若∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝，在线段C1A1上是否存点F(F不与C1，A1重合)使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
(20)(本小题满分12分)
已知过点P(，)的曲线C的方程为。
(I)求曲线C的标准方程；
(II)已知点F(1，0)，A为直线x＝4上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D。
(i)证明：OA平分线段BD(其中O为坐标原点)；
(ii)求最大值。
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sinx－x2＋2πx－a。
(I)当a＝0时，求f(x)零点处的切线方程；
(II)若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，求证：≥a。
请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
(22)(本小题满分10分)选修4－4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知点4(－1.0)，B(1，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－4。记M的轨迹为曲线C。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0。
(I)求C和l的直角坐标方程；(II)求C上的点到l距离的最小值。
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，g(x)＝|x＋3|。
(I)当x∈R时，有f(x)≤g(x)，求实数m的取值范围。
(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab－2a－b＝3m－1，求a＋b的最小值。
