辽宁省阜新市阜新蒙古族自治县第二高级中学2020届高三下学期第五次模拟考试数学（理）试卷

理科数学

第Ⅰ卷   （60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（   ）.

A． B． C． D．

2．若复数，则（    ）

A．0 B．2 C． D．

3．已知向量与不共线，且，则下列结论中正确的是（    ）

A．向量与垂直 B．向量与垂直

C．向量与垂直 D．向量与共线

4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（    ）

A．17 B．29 C．23 D．35

5．设,则（    ）

A． B． C． D．

6．如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（   ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

8．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（    ）

A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年

B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台

D．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

9．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（    ）．

A．6 B．4 C． D．

10．已知函数，设函数，函数的导函数为，则函数的图像大致为（   ）

A． B．C．D．

11．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C．π D．

12．已知线段是过抛物线的焦点F的一条弦，过点A（A在第一象限内）作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C，直线与抛物线相切于点A，交x轴于点T，给出下列命题：   

（1）；

（2）；

（3）.

其中正确的命题个数为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷  （90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数，则的值是______．

14．若的展开式中第四项为常数项，则n=       .

15．已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，若，则双曲线的焦距为_________．

16．若函数不存在零点，则的取值范围是______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.

（Ⅰ）证明：//平面BCE.

（Ⅱ）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.

18．（本小题满分12分）

已知数列满足：，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.

19．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

20．（本小题满分12分）

某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为.

（Ⅰ）若，，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；

（Ⅱ）若则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时的值.

21．（本小题满分12分）

已知函数，其中m为常数，且是函数的极值点．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的最小值．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）

以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：（为参数，），点N的极坐标为．

（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；

（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．

23．（本小题满分10分）

记函数的最小值为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若正数，，满足，证明：.