辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三4月模拟考试数学（文）试题

高三下学期4月模拟考试

数学试题（文）

时间：120分钟      满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

2．已知，则复数在复平面上所对应的点位于（     ）

A．实轴上           B．虚轴上          C．第一象限         D．第二象限

3．若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件      C．充要条件          D．既不充分也不必要条件

4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（     ）

  A．      B．      C．        D．

5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（     ）

A． B． C． D．

6．已知向量，则在方向上的投影为（     ）

A． B． C． D．

7．设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，已知，，.给出如下结论：

①若，则；②若，则；

③若，，则，；④若，，则，.

其中正确的结论个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知满足，的最大值为，则直线过定点（     ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则下列判断错误的是（     ）

A．为偶函数                       B．的图像关于直线对称

C．的值域为  D．的图像关于点对称

10．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，且它们的交点到的距离为，则的值为（   )

A. 4    B. 2    C.     D. 

11．已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax恰有2个零点，则a的取值范围是（     ）

A.(1，＋∞)            B.[1.2]               C.[1，2)              D.(0，2)

12．若函数f(x)=alnx-ex有极值点,则实数a的取值范围是（      ）

A  (-e,+∞)   B   (1,e)    C  (1,+∞)   D  (0,+∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则=          ．

14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表）， 

由最小二乘法求得回归直线方程.由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为                     

15．已知球的直径SC＝2。A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为          。

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，(2a＋b)cosC＋ccosB＝0。则△ABC面积的最大值是          。

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：

（1）估计全体考生成绩的中位数；

（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．

18．（12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．（12分）如图，平面平面，四边形是菱形，，，，.     （1）求四棱锥的体积；

（2）在上有一点，使得，求的值.

20．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与交于，两点，.

（1）求的方程；

（2）斜率为（）的直线过线段的中点，与交于两点，直线分别交直线于两点，求的最大值.

21．（12分）已知函数.

（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；

（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.

(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为: (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .   

（1）求的极坐标方程；   

（2）若直线与曲线相交于两点，求.   

23.（10分）已知函数. 

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，且存在，使得，求的取值范围.

高三4月考试数学试题（文）

时间：120分钟      满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

DBAAB     BDADB   CD

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． -1   14．53    15．     16．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． 【解析】（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，

从而有，解得,

故全体考生成绩的中位数约为172.50．  ………………5分

（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为，第4组学生为，第5组学生为；

从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：  

其中事件A共有4种，为   

由古典概型公式得,故这两名学生均来自同一组的概率为．………………12分

18．【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，．

因为是和的等差中项，所以．即，化简得．

因为公比，所以．所以（）．………………6分

（2）因为，所以．．

则，①

.②

①－②得，

，所以．………………12分

19．【解析】（1）∵四边形是菱形，∴，

又∵平面平面,平面平面,平面

∴平面，在中,,设,计算得，在梯形中,

梯形的面积，∴四棱锥的体积为.………………6分

（2）在平面内作,且,连接交于，则点满足,证明如下：∵,∴,且,

∴四边形是平行四边形.∴,

又菱形中,.∴,

∴四边形是平行四边形 ,∴,即.

∵,∴,又,∴.

………………12分

20．【解析】（1）由方程组得，解得，

所以，则，又，所以，故的方程为.………………5分

（2）由（1），则线段的中点坐标，

故直线的方程为，由方程组得，设，则，

直线的方程，代入，解得，所以，同理得，所以

.因为，所以，当时，取得最大值.     ………………12分

21．【解析】（1）的定义域为，

∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立.

则恒成立. ∴，∵，，∴.所以，的取值范围是.………………5分

（2）将表示为关于的函数，由且，得

设方程，即得两根为，，且.

则，，∵，,∴,∴,

∵,∴代入得,

令，则，得，，则,

, ∴而且上递减，从而,

即, ∴.     ………………12分

22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为:  为参数)，  

转换为普通方程为:  ，

转换为极坐标方程为:  .……………………5分

（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为:   (为参数).  

把直线的参数方程代入 ，

得到:  ，( 和 为 ， 对应的参数)，

故:  ， ，

所以 .………………………………10分

23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于  

或 或

解得 或 或

即不等式 的解集为 .…………………………5分

（2）当 时， ，不等式 可化为 ，

若存在 ，使得 ，则 ，

所以 的取值范围为 ……………………………………10分