贵州省铜仁市第一中学2020届高三上学期模拟考试数学试题（文科）

铜仁一中2019-2020学年高三年级第二次模拟考试

数学试卷（文科）

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两个部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，集合，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

选D

2.复数在复平面上对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.

【详解】∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）,

∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.

考点：复数的实部和虚部.

点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中.

3.设 ，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

∴b＞a＞c．
故选A．

4.设函数，若，则实数a=(　　)

A. -4或-2 B. -2或4 C. -4或2 D. -2或2

【答案】C

【解析】

【分析】

由分段函数解析式可得或，进而求解即可.

【详解】由，

若，则有：或，

解得或2.

故选C.

【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于基础题.

5.已知，且，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先通过已知求出，再利用平方关系求的值.

【详解】因为，

所以.

因为，且，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6.已知，均为单位向量，若，则向量与的夹角为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的模定义与向量数量积化简式子，并可求得向量与夹角的余弦值，进而求得的值。

【详解】由

得

即

设单位向量与的夹角为

则有

解得

又

所以

故选B.

【点睛】本题考查了向量的模和数量积的简单应用，属于基础题。

7.在中，角的对边分别是， ，则的形状为

A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 正三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.

【详解】因为，所以,,因此,选A.

【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.

8.已知向量，若则的最小值为

A. 12 B.  C. 15 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.

【详解】因为，

所以3a+2b=1,

所以.

当且仅当时取到最小值.

【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

9.已知函数f(x)是偶函数且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)

A. (1,3) B. (－1,1)

C. (－1,0)∪(1,3) D. (－2，－1)∪(0,1)

【答案】C

【解析】

若，则，此时，∵是偶函数，

∴，即，，∵，∴，∴函数是周期为4的函数，若，则，∴，∴，作出函数在上的图象，如图所示，

若，则不等式等价于，此时；若，则不等式等价于，此时；若，显然不等式的解集为，综上，不等式在上的解集为，故选C.

点睛：考查偶函数的定义，应想着求函数的解析式是求解本题的关键，首先通过奇偶性得到函数在上的解析式，再通过周期性得到函数在上的解析式，将原抽象不等式进行等价转化为具体不等式即可.

10.已知函数，且，若的最小值为，则的图象（   ）

A. 关于点对称 B. 关于点对称

C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

【答案】B

【解析】

【分析】

由得取到最小值，为对称中心的横坐标得的值，再结合三角函数性质逐项判断即可

【详解】由题得取到最小值，为对称中心的横坐标，又的最小值为，故 ，即

令，得 ，故点是函数对称中心，故B正确；A错

令，得，为函数对称轴，C，D均不合题意

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，准确求得的值是关键，属于中档题．

11.已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

在上为奇函数，故代入得，当时，，令，则上式即为，当偶数时，，当奇数时，，综上所述，，故选C.

12.函数的定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，，则（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先构造函数g（x）＝xf（x），依题意得g（x）是偶函数，且 >0恒成立，结合偶函数的对称性得出g（x）在（0，+∞）上递减，即可比较a，b，c的大小．

【详解】设g（x）＝xf（x），依题意得g（x）是偶函数，

当x∈（﹣∞，0）时，>0，

即 >0恒成立，故g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递增，

则g（x）在（0，+∞）上递减，

又a＝3f（3）＝g（3），b＝-f（-1）＝g（-1）＝g（1），c＝2f（2）＝g（2），

故a<c<b．

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

第II卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知与的夹角为求=_____．

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得：，结合向量的运算法则和向量模的计算公式可得的值.

【详解】由题意可得：，

则：.

【点睛】本题主要考查向量模的求解，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14.定义运算，若，，，则__________．

【答案】

【解析】

分析】

根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.

【详解】根据题干得到

，，

，，代入上式得到结果为：

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.

15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足如下条件：

（1）在闭区间上是连续不断的；

（2）在区间上都有导数.

则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”.函数在区间上的“拉格朗日中值”____.

【答案】

【解析】

【分析】

结合“拉格朗日中值”定义，先求导数，代入定义可得t的值.

【详解】因为，所以，结合“拉格朗日中值”定义可得，所以.

【点睛】本题主要考查信息创新题目，对新定义的准确理解是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

16.设直线与函数，的图象分别交于P,Q两点，则｜PQ｜的最小值为______________

【答案】1

【解析】

设函数，函数的定义域

求导数得

当时，，函数在上为单调减函数

当时，，，函数在上为单调增函数

所以当时，所设函数的最小值为

所以的最小值为

点睛：直线是一条垂直于轴直线，那么只要求两点纵坐标的差即可，联立函数方程，利用导数求其单调性解出最小值。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.在中，角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由 已知结合余弦定理，特殊角的三角函数值得角大小（2）由（1）及正弦定理得，进而推得，利用三角形的面积公式即可计算得解．

【详解】（1）由题

又

（2）由正弦定理得

，故 ，又

【点睛】本题主要考查了正余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18.在中，角的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若不等式的解集是，求的周长．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，从而，进而，由此能求出；（2）依题意是方程的两根，从而，由余弦定理得，从而能求出的周长.

试题解析：（1）由得,即，得，即，得，又，于是

（2）依题意a、c是方程的两根，由余弦定理得，的周长为．

19.已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，

（1）求的单调递增区间；

（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.

【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.

【解析】

试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可；
（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．

试题解析：（1）由得，

所以.

由得，

即函数的单调递增区间为

（2）由题意知

因为，

故当时， 有最大值为3；

当时， 有最小值为0.

故函数在上的最大值为3，最小值为0.

20.已知时，函数有极值.

（1）求实数的值；

（2）若方程恰有个实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求得函数的导数，根据当时，的极值为，列出方程组，即可求解；

（2）由（1）可得，求得，得到函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.

【详解】（1）因为，所以．

又因为当时，的极值为，所以，

解得 .

（2）由（1）可得，则，

令，得x＝±1，

当或时，单调递增，

当时，，单调递减；

所以当时取得极大值，，

当时取得极小值，，

大致图象如图所示：

要使方程恰有1个解，只需或．

故实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

21.已知函数.

（1）求曲线在点处切线方程；

（2）证明：.

【答案】（1）所求切线方程为；（2）

【解析】

试题分析：（1）先求出导函数，根据对数的几何意义可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）要证，只需证，利用导数研究两函数的单调性，从而求出两函数的最值即可证明，进而可得结论.

试题解析：（1）因为，

所以，

因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（2）证明：要证，只需证，

设，

则，

令得，令得，所以，

因为，所以，

又，所以，

从而，即.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线、利用导数研究函数的单调性进而求最值以及利用导数证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.

（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

(1)利用三角恒等式消参得到曲线C的普通方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程；（2）先证明点P在直线l上，再利用直线参数方程t的几何意义解答.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，

所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线l参数方程为，

代入椭圆的方程得，

所以，

所以.

【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

23.已知函数.

（I）求不等式；

（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，

即，即，再化为在恒成立解答即可.

【详解】解：（Ⅰ）.

当时，，即，解得；

当时，，即，解得；

当时，，即，解得.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）对，恒成立，

即在恒成立，

即，

，

在恒成立，

.

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.