河北省保定市2020届高三下学期模拟考试　数学（理）

2020年高三第二次模拟考试

理科数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P＝{x|x2－4x>0}，Q＝{x|log2(x－1)<2}，则(P)∩Q＝

A.[0，4]     B.[0，5)     C.(1，4]     D.[1，5)

2.若复数z满足(2－i)z＝(1＋2i)2，则|z|＝

A.3     B.     C.2     D.

3.在△ABC中，“>0”是“△ABC是钝角三角形”的

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件

C.充要条件           D.既不充分也不必要条件

4.已知函数y＝sin(ωx－)(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数图象是由y＝cos2x的图象经过怎样的变换得到?

A.向左平移个单位长度     B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度     D.向右平移个单位长度

5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》。完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是

A.     B.     C.     D.

6.已知sin(＋α)＝cos(－α)，则cos2α＝

A.0     B.1     C.     D.

7.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

A.4＋π     B.     C.     D.

8.在(2x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为

A.56     B.448     C.408     D.1792

9.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是

A.132     B.133     C.134     D.135

10.已知点(n，an)(n∈N*)在函数y＝lnx图象上，若满足≥m的n的最小值为5，则m的取值范围是

A.(10，15]     B.(－∞，15]     C.(15，21]     D.(－∞，21]

11.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1(－c，0)作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若∠F1AF2的平分线过点M(－c，0)，则双曲线的离心率为

A.2     B.     C.3     D.

12.已知方程有三个不同的根，则实数a的取值范围为

A.(－1，e)     B.(－e，)     C.(－1，1)     D.(－1，)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，满足：||＝2，||＝3，与夹角为120°，则|a＋2|＝         。

14.已知正三棱锥P－ABC，AB＝2，PA＝2，则此三棱锥外接球的半径为         。

15.已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最

大值和最小值的和为4，则λ－µ＝         。

16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝absinC，acosB＋bsinA＝c，a＝，则b＝         。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＋an－n＝0，(n∈N*)。

(1)求证：数列{an－}为等比数列；

(2)求数列{an－n}的前n项和Tn。

18.(12分)

我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能。常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种。某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品。现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：

(1)试分别估计两种口罩的合格率；

(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下，

①设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望；

②求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率。

19.(12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA＝PD＝，E为PA中点，点F在PD上且EF⊥平面PCD，M在DC延长线上，FH//DM，交PM于H，且FH＝1。

(1)证明：EF//平面PBM；

(2)设点N在线段BC上，若二面角E－DN－A为60°，求BN的长度。

20.(12分)

已知椭圆C：的离心率为，且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面积的最大值为2。

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过定点Q(m，0)(m>2)的直线l交椭圆C于不同的两点M，N，点M关于x轴的对称点为M'。试证明：直线M'N与x轴的交点S为一个定点，且|OQ|·|OS|＝4(O为原点)。

21.(12分)

已知函数f(x)＝(a＋2)lnx＋－x。

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数h(x)＝f(x)－2lnx有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，

求证：f(x1)＋f(x2)－x1x2>8(5ln2－2)；

(3)设a＝－1，函数f(x)＋＋x的反函数为k(x)，令ki(x)＝k[()x]，i＝1，2，…，n－1，n∈N*且n≥2，若x∈[－1，1]时，对任意的n∈N*且n≥2，k1(x)k2(x)…kn－1(x)≥恒成立，求m的最小值。

(二)选考题：共10分。请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为，(t为参数)。

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)在(1)中，设曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，设曲线C1上任意一点为M(x0，y0)，当点M到直线l的距离取最大值时，求此时点M的直角坐标。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝x2＋2|x－1|。

(1)求不等式f(x)>的解集；

(2)若f(x)的最小值为N，且a＋b＋c＝N，(a，b，c∈R)。

求证：≥。