河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟数学（文）试题
展开2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
文科数学2020．5
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合，再根据交集的运算即可求出．
【详解】因为，，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题．
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数的代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．
【详解】因为，所以其共轭复数为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．
3.下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）
A. 2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C. 2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D. 2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．
【详解】对于A，由图可知，2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日1660人大幅下降至615人，所以A正确；
对于B，从2020年2月19日起至2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；
对于C，由图可知，2020年2月19日至3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，3月1日，2日，共8天，所以C正确；
对于D，2020年2月15日到3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是2月16日1690例，最少的是3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．
4.等差数列的前n项和为，满足，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和的定义以及等差数列的下标和性质，即可求出．
【详解】因，解得，所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的定义以及等差数列的性质的应用，属于容易题．
5.角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角谷猜想的定义，可知当时，得出的数为5，16，8，4，2，1，再根据古典概型的概率计算公式即可求出．
【详解】根据角谷猜想的定义，可知当时，得出的数为5，16，8，4，2，1．从中随机任取两个不同的数有：
，共15个结果，
而取出这两个数都是偶数的有：，共6个结果，
所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查新定义的应用以及古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
6.已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上为减函数，且 B. 在上为减函数，且
C. 在上为增函数，且 D. 在上为增函数，且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意为奇函数，可知函数关于点对称，再结合函数是偶函数可得出函数周期为4，而，，利用周期从而可求得时的解析式，即解出．
【详解】因为函数为奇函数，所以函数关于点对称，即，
函数是偶函数，所以，于是，，用替换，可得，所以．
当，，
当时，，所以在上为增函数，且．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7.如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（ ）
A. 16 B. C. 32 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体可知，该几何体为三棱柱，故根据其体积公式即可算出．
【详解】如图所示，该几何体为图中三棱柱，
所以该几何体的体积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并求其体积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．
8.双曲线的渐近线与圆在第一、二象限分别交于M，N两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意作出图象，可知为等边三角形，由双曲线的渐近线关于y轴对称，可知
，再结合，即可求出离心率．
【详解】依题意作出图象，如图所示：
因为，所以为等边三角形，而双曲线的渐近线方程为，它们关于y轴对称，所以，即，
又，所以，即离心率．
故选：D．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及圆的方程的应用，属于基础题．
9.已知，．若且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量的加法运算求出，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．
【详解】因为，所以，
，
即，因而，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10.如图是函数的部分图象，设是函数在上的极小值点，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据图象确定函数的解析式，即可根据函数在上的极小值也是最小值，得到，即可解出．
【详解】根据图像可知，，所以，
又因为，而且，所以，故
由，，解得，所以
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查根据函数图象求正弦型三角函数的解析式，并根据解析式求值，涉及到极值点的概念理解和运用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．
11.函数在上的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系，即可由得到，再分别求出两函数的图象即可求出零点个数．
【详解】令，显然不是函数的零点，可得．
设，，因为，
所以当，，
当，，当，，
∴的极小值为，而，故作出函数和在上的图象，如图所示：
所以，两函数图象有两个交点，即函数在上的零点个数为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
12.把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意以及弧长公式可知，，解得，
所以该圆锥的侧面积为．
如图所示，
由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，
设圆锥的外接球的半径为，
因为，所以，解得，
因此，该圆锥的外接球的表面积为．
故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.抛物线的焦点为F，过F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线过焦点弦的性质可知，为通径，所以有，即可解出．
【详解】因为过焦点F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，所以为通径，
即，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线过焦点弦的性质的应用，属于容易题．
14.已知变量x，y满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可解出．
【详解】作出不等式表示的平面区域，如图所示的阴影区域：
设，当直线平移至经过点时，取得最小值．
由解得，，所以点的坐标为．
因此，的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的的解法应用，属于基础题．
15.若函数有最小值，则实数a取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性即可知，函数在处取得最小值，即可求出实数a的取值范围．
【详解】当时，函数单调递减，无最小值，无最大值，其值域为；
当时，函数单调递减，其最小值为，
所以若该函数有最小值，最小值只能在处取得，故．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，以及分段函数的最值求法，属于基础题．
16.已知等比数列的公比为，前n项和为，且满足，．若对一切正整数n，不等式恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意，求出首项和公比，即可得到，再根据分离参数法， 可得，再利用数列的单调性即可求出的最小值，即可得出实数m的取值范围．
【详解】由题意可得，，
，变形为
，解得或，又∵，所以．
故，，．
∴，即
设，，
当时，；
当时，，令
∴解得，因此，当，即时，，
当，即时，，
所以，当时，的值最小，最小为，∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式和前项和公式中基本量的计算，数列不等式恒成立问题的解法应用，以及数列单调性的判断，综合性强，思维难度较大，较好的全面考查了学生综合运用数列知识的能力，属于较难题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（―）必考题：共60分．
17.在中，有．
（1）求B；
（2）若，角B的角平分线BD交AC于D，，求边AD的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）将式子两边除以2，再逆用两角和的正弦公式即可化简得到，结合角的范围，即可求出；
（2）根据三角形内角和定理可得，，可知为顶角为等腰三角形，再根据余弦定理，可求出的长，在中根据正弦定理即可求出边AD的长．
【详解】（1）由，知，
得．
，，
，即．
（2），，． 为角平分线，，
从而，．
设，在中，根据余弦定理得，求得．
在中，根据正弦定理得，求得．
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18.如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC，，．
（1）证明：平面PBC；
（2）求点C到平面PBA的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由平面ABC，可得，通过取中点，由平面平面PBC，可得平面PAC，从而，然后根据线面垂直的判定定理即可证得平面PBC；
（2）根据平面ABC可得平面平面ABC，过点过点C作，交AB于M，则即为所求，在内根据等面积法即可求出．
【详解】（1）证明：平面ABC，平面ABC，．
取PC的中点D，连接BD，，．
又平面平面PBC，平面平面，平面PBC，
平面PAC．又平面PAC，．
，平面PBC．
（2）易知平面平面ABC，AB为交线，在中，过点C作，交AB于M，则平面PBA．
又，，
点C到平面PBA的距离为．
【点睛】本题主要考查线面垂直的的判定定理，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理，判定定理的应用，以及点到平面的距离的求法，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
19.已知椭圆的焦距为4．且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O为坐标原点）．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出，然后根据求出，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及，即可解出）；
（2）由直线l的方程可得点，联立直线l与椭圆的方程可计算出点的坐标，再根据联立直线与直线的方程可得点的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线的斜率，根据斜率相等，即可证得．
【详解】（1）由题可知，，，
椭圆的左，右焦点分别为，．
由椭圆的定义知，
，，
椭圆E的方程为．
（另解：由题可知，解得）．
（2）易得，，，
直线与椭圆联立，得，
，从而，．
直线AM的斜率为，直线AM的方程为．
令，得，
直线PQ的斜率．
直线OC的斜率，
，从而．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
20.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：
（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：
序号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
锻炼时长m（单位：分钟） | 10 | 15 | 12 | 20 | 30 | 25 | 35 |
（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？
附；在线性回归方程中，，．
【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；
（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回归方程；
（Ⅱ）根据线性回归方程，令，求出预测值，再验证是否满足，即可判断．
【详解】（1），
．
（分钟）．
（2）（Ⅰ），
，
，
，，
关于n的线性回归方程为．
（Ⅱ）当时，．
，
估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．
21.已知函数．
（1）判断函数在点处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
（2）若有最大值，证明：．
【答案】（1）在处的切线过定点，坐标为；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求出函数在点处的切线方程，根据过定点的直线系方程的判断方法，即可判断该切线是否过定点；
（2）先求出函数的导数，判断其单调性，求出其最大值为，将需证明的不等式等价变形为，令，构造函数
，利用导数求出其最小值，，即得证．
【详解】（1），，切点坐标为，
在处的切线方程为，
即，令，得，．
在处的切线过定点．其坐标为．
（2）由题知，的定义域为．
．
若，则恒成立，在上单调递增，无最大值．
若，令，得（舍）或
当，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
即．
若证，可证，令，，
则有，即证．
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故．，即．
【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，直线系过定点的求法，以及利用导数求函数的最值和函数不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的数学转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中，曲线，曲线（为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．l与，分别交于异于极点的A，B两点，且．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）求实数a的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，消去参数，即可求得曲线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线的极坐标方程；
（2）将曲线化成极坐标方程，然后将分别代入，曲线和的极坐标方程即可求得，由题意列出方程，即可解出实数a的值．
【详解】（1）把曲线化成普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为．
（2）把曲线化成极坐标方程为，
把分别代入和得，，
，
，，解得．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系下的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数．
（1）解不等式；
（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数a的值．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值的定义，确定分段点，，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别解不等式即可求出；
（2）根据题意作出函数函数的图象与直线，由图可知，围成的图形为三角形，再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数a的值．
【详解】（1），
当时，由，得，解得；
当时，由，得，无解；
当时，由，得，解得．
所以的解集为．
（2）由（1）知，方程的解为或．
作出函数的图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，故，解得．
因为，所以．
【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．
