河南省开封市铁路中学2020高三下学期模拟考试数学（理）试卷


数学试卷（理科）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合 , 则( ).
A． B． C． D．
2.设为虚数单位，复数( ).
A． B． C． D．
3.下列结论中正确的是( ).
①命题：的否定是；
②若直线上有无数个点不在平面内，则；
③若随机变量服从正态分布，且，则；
④等差数列的前项和为，若，则.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为( ).
A． B． C． D．
5.某产品的研发费用万元与销售利润万元的统计数据如表所示，
研发费用（万元）
4
2
3
5
利润（万元）
49
26
39

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则( ).
A. B.
C. D.
6.在中，分别是角的对边，若成等比数列，，( ).
A． B． 1 C． D．
7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ).
A． B．
C． D．

8.若实数满足不等式组则的最大值是 ( ).
A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4
9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆
内的有( ).
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处
取得极大值，则函数的图像可能是( ).

11.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为( ).
． ． ． ．
12.已知定义在上的函数满足.当时,．设在上的最大值为，且的前项和为，则 ( ).
A. B． C． D．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知，那么的展开式中的常数项为 .
14.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为 .
15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为___ ____.
16.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为_______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．

18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评



对商品不满意



合计


200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
（2）求X的数学期望和方差．
附：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中n=a+b+c+d）
20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；
（2）求证：线段MN的长为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．
（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．

选修4-4：极坐标与参数方程
22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．
（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．

选修4-5：不等式选讲
23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．
（I）求实数m、n的值；
（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．














答案部分
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
A
A
D
D
D
B
D
C
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．
则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，
整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，
由于：0＜B＜π，
则：sinB≠0，
解得：，
所以：B=．
（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，
在直角△BCD中，若a=3，BD=，
解得：，
解得：，
则：，，
所以：cos∠ABD===，
则：在Rt△ABD中，，
=．
故：c=5
18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，
∴AB=AE，
取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，
又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，
在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，
∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，
∴EC⊥PB，
又PB⊥PE，且PE∩EC=E，
∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEC；
（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），
∴，，=（，，﹣）．
设平面PED的一个法向量为，
由，令z=﹣1，则，
又平面PBE的一个法向量为，
则cos＜＞==．
∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评



对商品不满意



合计


200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
（2）求X的数学期望和方差．
附：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中n=a+b+c+d）
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
K2=≈11.111＞6.635，
故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．
（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=（）3=，
P（X=1）==，
P（X=2）=，
P（X=3）==，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




（2）∵X～B（3，），
∴E（X）=，
D（X）=3×=．

20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；
（2）求证：线段MN的长为定值．
【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，
解得：a=，b=1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，
联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．
∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，
∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，
∴•=﹣1，则l1⊥l2．
（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，
则l1：x=±，
当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），
此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．
设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，
∴由得 （1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．
由△=0化简整理得 （3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，
∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，
∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．
综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，
∴线段MN的长为定值．


21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．
（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xex，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）ex，
若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；
（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，
即（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立，
设h（x）=（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex，
h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）ex﹣t+ex，h′（0）=0，
h″（x）=ex[（t﹣1）x+2t﹣1]，
t=1时，h″（x）=ex≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，
∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，
故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，
∴t≠1，则h″（x）=ex（x+）（t﹣1），
令h″（x）=0，则x=﹣，
①当﹣≤0即t＜或t＞1时，
若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，
故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，
∴h（x）≤h（0）=0成立，
若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，
故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，
故h（x）≥h（0）=0，不成立，
②﹣≥0即≤t≤1时，
h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，
故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，
综上，t的范围是（﹣∞，]．

选修4-4：极坐标与参数方程
22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．
（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．

【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），
曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．
（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，
所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，
则：，
解得：，
则：=，
则：|AP|的最大值为：，
|AP|的最小值为：．

选修4-5：不等式选讲
23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．
（I）求实数m、n的值；
（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，
∴或或，
解得：﹣1≤x≤1，
故m=﹣1，n=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，
则++
=（++）（a+b+c）
=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]
≥+（2+2+2）
=+3=，
当且仅当a=b=c=时“=”成立．