黑龙江省大庆市2020届高三第三次高考模拟考试数学（理）试题

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题理科数学2020.06注意事项:答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第I卷（选择题  共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则A． B． C． D．2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A．     B．     C．      D． 4. 已知向量，，设与的夹角为，则A． B． C． D． 5. 设，，，则的大小关系为A．  B． C． D． 6. 在某次数学测验后，将参加考试的名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于分的学生数是        B.      C.       D.      7. 将这五个数字全部取出，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是A．  B． C． D．8. 若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A．     B.     C．     D.9. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为A．        B．        C．        D． 10. 已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是A．     B． C．       D． 11. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的一个端点，若的最小值为，则双曲线的离心率为A． B． C． D．12. 已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为A．      B．      C．      D． 第Ⅱ卷（非选择题  共90分）   本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为______.14. 已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______. 15. 在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.16. 设函数的定义域为，满足，且当时，当时，函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则数列前项的和为____________. 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证: . 18. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形， .（1）证明：平面平面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的正弦值． 19.（本小题满分12分）某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，. 三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.（1）求；（2）若该零件的一级品每个可获利元，二级品每个可获利元，每个废品将使工厂损失元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.  20. （本小题满分12分）设函数.　（1）当时，求函数在点处的切线方程；　（2）当时，恒成立，求整数的最大值. （参考数值：，，, ）   21. （本小题满分12分）已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.        请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.  22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程;（2）直线与轴的交点为,经过点的直线与曲线交于两点,若,求直线的倾斜角.     23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.        2020大庆三模数学理科参考答案一、选择题  ABACC BDDCA CD13.2   14.1   15.   16,17.解（Ⅰ）因为，①当时，，②                  ...............................2分由①-②得，即， ............................................4分当时，，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以；        ..................................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，                   ........................................................8分所以，........10分 因为   所以            ............................12分18.解（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴∵，,∴,...........................................................2分又∵,∴又,∴...........................................................4分（2）方法1：∵，过点P做,垂足为E∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,...............................................................6分又，设,则 过F做FE垂直于AB,垂足为F,则AF= 如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系..........8分设面法向量为，,∴，，∴......................................................................9分同理的法向量，    ....................................................................10分                    ....................................................................11分∴二面角的正弦值        ....................................................................12分（2）方法2∵，过点P做,垂足为E∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,.........................9分设AB=a,则，AB=BC=CD=DA=a,AC=,由，得AP=，PE=，AE=，过E做EF垂直AB，垂足为F,则AF=，如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系所以可得：A(0,0,0),B(a,0,0)C(a,a,0),D(0,a.0),P(,,)，....................................................................8分 ，(0,a.0)，=(a,0,0)设面法向量为,,,令z=1.则，即，....................................................................9分设的法向量，则,，令z=1.则，，       ....................................................................10分(直接书写：同理可得，本次考试不扣此步骤分）所以，              ..................................................................11分则二面角的正弦值为     .....................................................................12分19.解（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，则，，，，，.设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，.............................................2分所以.                                       .............................................4分 （2）的可能取值为200，100，，...........................................5分，，，....................................................8分则的分布列为 200100-50.                                                             .........................10分所以.                   .. .....................12分20.解：（1）当时，， ------------------------2分所以，因为  所以切线方程为， 整理得：     -----------------------4分（2），因为，所以（）恒成立设，则      ---------6分设则（）.所以在上单调递增，又,,所以存在使得，当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以 . ----------8分因为所以,------------10分设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以因为，所以，所以的最大值为2.         ----------------------------------12分21.方法一 解（1）由题有，. ∴，.....................................................2分∴.∴椭圆方程为        ...........................................................................4分（2）设：，将其与曲线的方程联立，得.即...........................................................................................6分设，，则，............................................8分将直线：与联立，得∴..........................................................................................9分∴......................................................10分设.显然.  构造.在上恒成立,所以在上单调递增.所以，当且仅当，即时取“=”所以的取值范围是                               ............................11分当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）21.方法二 解（1）由题有，. ∴，...................................................2分∴.∴椭圆方程为        ...........................................................................4分（2）方法1：设：，将其与曲线的方程联立，得.即...........................................................................................6分设，，则，............................................8分将直线：与联立，得∴..........................................................................................9分∴......................................................10分设.显然.  构造.在上恒成立,所以在上单调递增.所以，当且仅当，即时取“=”所以的取值范围是.当取得最小值1时，, 此时直线的方程为 ......................................12分（注：1.如果按函数的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）   （2）方法2：当l的斜率不存在时，易得.......................6分当l斜率存在时，可设设，由  得，   ...........................8分            ...........................9分依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则所以，                                       ...........................10分则得......................11分综上可知，最小值为1，此时直线的方程为    ......................................12分（2）方法3：当l的斜率不存在时，易得...........................6分当l斜率存在时，可设设，由  得，...........................8分...........................9分依题意可知，则有直线TF：，又x=4，则，...........................10分则得设，则有，设当t=1时，f(t)=16,则t>1时，f(t)>16,则...........................11分综上可知，最小值为1，此时直线的方程为 ......................................12分22.解（1）曲线C的普通方程为...............................................2分因为 ,所以所以直线l的直角坐标方程为...................................4分（2）点P的坐标为（4,0）设直线m的参数方程为（t为参数，为倾斜角）..........6分联立直线m与曲线C的方程得： 设A、B对应的参数分别为，则所以...................................................8分.................................................................................10分23.解：（1）当时，....................2分由，得.故不等式的解集为.......................4分（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，..........................................................6分因为所以，..................................................................................................8分则，所以，即，解得，即的取值范围为......................................10分