湖南省怀化市溆浦县江维中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 若，，则
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 若，，则等于
A. B. C. D.
4. 执行下面的程序框图，如果输入的[－1,3]，则输出的属于
A. [－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－3,3]
5. 若为数列的前n项和，且，则等于
A． B． C． D．30
6. 已知向量，则等于
A． B． C．5 D．25
7. 已知△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若, , 则角的值为
A. B. C. D.
8.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代的人们通过贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从春联和灯笼这两类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都可领取其中一件礼品，则他们有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是
A． B． C． D．
9. 将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是
A．函数的最小正周期为 B．当时，函数为奇函数
C．是函数的一条对称轴 D．函数在区间上的最小值为
10. 关于函数，下列说法正确的是
A．在单调递增 B．有极小值为0，无极大值
C．的值域为 D．的图象关于直线对称
11．已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12. 若函数在定义域上可导，且，则关于的不等式的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
13.设实数，若是纯虚数（其中为虚数单位），则= ．
14.若满足约束条件则的最小值为 .
15. 若椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点为坐标原点，且△为正三角形，则椭圆的离心率为_________．
16.已知正方体的棱长为1，垂直于棱的截面分别与面对角线、、、相交于点、、、，则四边形面积的最大值为_____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17．（本题满分12分）
为了解某地中小学生的近视形成原因，教育部门委托医疗机构对该地所有中小学生的视力做了一次普查. 现该地中小学生人数和普查得到的近视情况分别如图1和图2所示．
(Ⅰ)求该地中小学生的平均近视率（保留两位有效数字）；
(Ⅱ)为调查中学生用眼卫生习惯，该地用分层抽样的方法从所有初中生和高中生中确定5人进行问卷调查，再从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人全部来自高中年级的概率是多少？
18．（本题满分12分）
在等比数列中，，．
(Ⅰ)求数列前8项的和；
(Ⅱ)若等差数列满足，求数列的通项公式．
19．（本题满分12分）
已知四棱锥中，平面，底面是菱形，，点，分别为和的中点．
(Ⅰ)求证：直线∥平面；
(Ⅱ)求证：平面⊥平面．
20．（本题满分12分）
若抛物线：的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为，且△的面积为．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程．
21．（本题满分12分）
已知函数，其中常数．
(Ⅰ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若，且时，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为：（为参数），的参数方程为：（为参数）．
(Ⅰ)化、的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(Ⅱ)若直线的极坐标方程为：，曲线上的点对应的参数，曲线上的点对应的参数，求的中点到直线的距离．
23. (本题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数．
(Ⅰ)若，且不等式的解集为，求的值；
(Ⅱ)如果对任意，，求的取值范围．
（文科数学）答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | C | A | D | C | C | D | C | B | D | B |
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 1 14．－1 15． 16.
三、解答题（必做题第17题至第21题每小题12分，选做题第22题、23题每小题10分，共70分）
17解：（Ⅰ）该地近视的学生人数为3200×0.1+3000×0.3+2000×0.5=2220（人）………2分
该地中小学生总人数为3200+3000+2000=8200（人），………3分
故该地中小学生的平均近视率为2200÷8200≈0.27，即平均近视率约为27％………6分
(Ⅱ)由题意得，参与问卷调查的5名中学生中有2名高中生，3名初中生. ………7分
设2名高中生为、，3名初中生为、、，则从这5人中随机选取2人的情况为：
、、、、、、、、、，
………9分 共计10种情况，………10分
其中全部来自高中年级的情况有1种，………11分
故2人全部来自高中年级的概率是..……………12分
18解：（Ⅰ）由题意得公比，………1分 故，………2分
所以，………3分
故的前八项的和为……6分
（Ⅱ）由（1）得，………7分 故由知，………8分.
又，所以.………9分
故数列的公差，………10分
所以……………12分
19解：（Ⅰ）取线段中点，连结线段和.…………1分
在△中， .………2分
点为中点，故 ，所以 ，………3分
所以四边形为平行四边形，………4分
所以//，又平面，………5分
所以直线∥平面.……………6分
（Ⅱ）连，由底面是菱形，且，故为等边三角形.…7分
又点为中点，故.………8分
因为平面，所以.………9分
由知平面，………10分
因为平面，………11分
所以平面⊥平面.…………12分
20解：（Ⅰ）法一、抛物线的焦点为，准线为，
设，则，………1分
过点作轴的垂线，垂足为，则. ………2分
在△中,，故，即，
即，………3分
所以，故.………4分
由，所以，………5分
所以抛物线的方程为.…………………6分
法二、抛物线的焦点为，准线为，设，则，
………1分
又因与轴正向的夹角为，所以，……2分
所以，所以，………3分，………4分
代入得，解之得或，………5分
又当时，与轴正方向的夹角为，不符合题意，所以，
所以抛物线的方程为.…………………6分
（Ⅱ）过作与准线垂直，垂足为，………7分
则，………8分
则当取得最大值时，必须取最大值，此时与抛物线相切，…9分
设切线方程为与联立，消去得，…10分
所以，得．………11分
则直线方程为或．……………12分
21解：（Ⅰ）由题意知当时，不等式恒成立，
即恒成立……………1分
设，则. ……………2分
当时，，函数单调递减；……………3分
当时，，函数单调递增，……………4分
所以的最小值为，故实数的取值范围为.……………5分
（Ⅱ）由题意得，要证成立，即证成立，
即证成立．……………6分
设，其中，则.……………7分
设，则.令得；
令得，所以函数在上单调递增；
在上单调递减……………8分
设曲线与轴的交点为，因为，，
，所以，且．…………9分
故当时，；当时，，……………10分
所以，……………11分
由于，所以，即.……………12分
22解：（Ⅰ）曲线，……………1分
曲线，……………2分
其中曲线为圆心是，半径是1的圆；……………3分
曲线为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.……5分
（Ⅱ）曲线中，当时，点的坐标为，……………6分
同理点的坐标为，……………7分
故线段的中点的坐标为．……………8分
又直线的普通方程为，……………9分
故点直线的距离为.……………10分
23解：（Ⅰ）因为，故……………2分
所以，……………4分 所以；……………5分
（Ⅱ）对任意，当时，由（1）知，即；……………6分
当时，不恒成立；……………7分
当时，……………8分
要使恒成立，则，即.……………9分
综上可得或.……………10分
