湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（文）（六）试卷
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测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合,，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知命题,，则命题的真假以及命题的否定分别为 （ ）
A．真，，
B．真，，
C．假，，
D．假，，
4．已知向量，，若，且，则实数的值为 （ ）
A．2 B．4 C．或2 D．或4
5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填 （ ）
A． B． C． D．
6． （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则下列说法正确的是 （ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象关于中心对称
8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）
13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为 .
14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线的离心率为； ②双曲线与椭圆共焦点； ③双曲线右支上的一点到的距离之差是虚轴长的倍.
请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线的方程为 .
（注：以上三个条件得到的双曲线的方程一致）
15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为 .
第15题图 第16题图
16．如图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若，，，则四边形面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
19．（12分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，且，，为的交点，点在平面内的投影为点.
（1）；
（2）若，求三棱锥的体积.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，若，点关于直线的对称点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程与离心率；
（2）过点做直线与椭圆相交于两个不同的点；
若恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的极值点；
（2）若时，证明：.
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；
（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.
23．（10分）选修4—5不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
文科数学答案与解析
1．【答案】C【解析】依题意，集合，，
故，故选C.
2．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故复数的共轭复数为，故选A.
3．【答案】B【解析】不妨取，此时，故命题为真；特称命题的否定为全称命题，故，，故选B.
4.【答案】C【解析】依题意，向量；因为，故，故；又，即或1，故或-2，故选C.
5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，；第五次；；第六次，；观察可知，判断框中可以填“”，故选B.
6．【答案】A【解析】依题意，
；
；故原式的值为，故选A.
7．【答案】D【解析】依题意，，将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数的图象，这是一个奇函数，图象关于中心对称，故函数的对称中心为，故选D.
8．【答案】C【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，此时，
解得，故，故的最小值为
故；令，解得
，即，故选C.
9．【答案】A【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出；要使恒成立，需且仅需解得；
故的取值不可能为7，故选A.
10．【答案】B【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为或，均为，故选B.
第9题答案图 第10题答案图
11．【答案】A【解析】依题意，；因为，故；设，则，
故，，可知，当时，有最大值25，当时，有小值；故的取值范围为，故选A.
12．【答案】A【解析】依题意，，令，故；令，则，故当时，；故在上单调递减，故，故的最小值为1，故选A.
13．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.
14．【答案】【解析】依题意，双曲线的渐近线方程为，即，故，即；
①双曲线的离心率为，故；又，且，故，故双曲线的方程为；
②椭圆的焦点坐标为，故；又，故，故双曲线的方程为；
③依题意，设双曲线的左、右焦点分别为，故，故，故双曲线的方程为.
15．【答案】【解析】因为四边形为等腰梯形，
，故；因为,,
,，
，故；
取CD的中点E，则E是等腰梯形外接圆圆心；
F是外心，作平面，平面，则O是四棱锥的外接球的球心，且；设四棱锥的外接球半径，则，所以四棱锥外接球的表面积是.
16．【答案】【解析】因为，故，
故，故是等腰直角三角形；在中，，
由余弦定理，；；
又，；
易知当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
17．【解析】
（1）依题意，，故，故；
故数列是公比为3的等比数列，因为，故，
解得；故数列的通项公式为；（6分）
（2）依题意，，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，
故，
故，即实数的取值范围为.（12分）
18．【解析】
（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，
故甲参加围棋比赛的概率为；（4分）
（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，
则所有的可能为（1,2,1,2）,（1,2,1,3）,（1,2,1,4）,（1,2,2,3）,（1,2,2,4）,（1,2,3,4）,（1,3,1,2）,（1,3,1,3）,（1,3,1,4）,（1,3,2,3）,（1,3,2,4）,（1,3,3,4），
其中满足条件的有（1,2,3,4）,（1,3,2,4）两种，故所求概率.（12分）
19．【解析】
（1）依题意，，，
又,，（2分）
在中，,，（3分）
在中，，，即；
平面,平面,；（6分）
又,平面,平面,平面，
因为平面，故，即；（8分）
（2）依题意，.（12分）
20．【解析】
（1）依题意，点关于直线的对称点为，
因为，故，故椭圆；
将代入椭圆中，解得；
所以椭圆的方程为故离心率；（4分）
（2）当直线的斜率不存在时，，所以．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去整理得，
由，可得，且，
所以，
所以，
故，综上实数的取值范围为．（12分）
21．【解析】
（1）依题意，，故；
可知，当时，；时，；
故函数的极小值点为，无极大值点；（4分）
（2），令，故，
可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
在时取得极大值，并且也是最大值，即．
又，．
设，则，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以,,,，又，
，即.（12分）
22．【解析】
（1）曲线：；直线:；（4分）
（2）依题意，曲线；又曲线的参数方程为为参数)，
设曲线上任一点，
则(其中)，
所以点到直线的距离的最小值为.（10分）
23．【解析】
（1）显然；故，
故不等式的解集为；（5分）
（2）依题意，当，，
故，解得；
当时，，
故，解得；
综上所述，实数的值为.（10分）
