安徽省定远重点中学2020届高三3月线上模拟考试数学（理）试题
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理科数学
本卷满分150分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知全集，集合，集合，则
A. B. C. D.
2.已知i是虚数单位，，则
A. 10 B. C. 5 D.
3.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为
A. B. C. D.
4.已知等差数列中，，则的值为
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
5.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为
A. B.2 C. D.
6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为
A. 40 B. 43 C. 46 D. 47
7.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
AQI指数值 | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～300 | ＞300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
8.的展开式中含的项的系数为
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
9.已知满足约束条件若目标函数的最大值是6，则
A. B. C. D.
10.函数的图像大致为
11.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为
A. B. C. D.
12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
14.无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若， 则________
15.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为____．
16.已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、、，使得成立，则的最大值为________
三、解答题(共6小题 ,共70分)
17. （本小题满分12分）如图，在 中，角 的对边分别为 , .
（1）求角 的大小；
（2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值.
18. （本小题满分12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.
求图中的值，并求综合评分的中位数.
用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.
附：下面的临界值表仅供参考.
（参考公式：，其中.）
19. （本小题满分12分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
20. （本小题满分12分）已知点，过点D作抛物线的切线l，切点A在第二象限．
求切点A的纵坐标；
有一离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l与椭圆的另一交点为点B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，，，若，求椭圆的方程．
21. （本小题满分12分）已知函数．
（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；
（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）．
22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数（）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于不等式的解集为，求的取值范围．
参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | C | C | C | C | C | B | C | A | C | A |
13. 14.或 15. 16.6
17.（1）（2）
解：（1）在 中， . 有 ， ，则 ，即 ，则 .
（2）在 中， ，又 ，
则为等腰直角三角形， ，又 ， ，
当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 .
18. 解：由，
解得
令得分中位数为，由解得
故综合评分的中位数为
由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，
其分布列为：
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望
结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：
可得
所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.
19. 解：(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
20.（1）（2）
解：设切点则有，
由切线l的斜率为，
得l的方程为，
又点在l上所以即
所以点A的纵坐标．
由得，切线斜率，
设，切线方程为，
由得又，
所以．
所以椭圆方程为且过，
所以．
由得，
所以，
又因为，
即，
解得，所以
所以椭圆方程为：
21. 解：（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，
即的图像与函数的图像有交点，
即在上有解.
即在上有解.
设，（），则
当时，为减函数；当时，为增函数，
所以，即.
（2），
在上存在两个极值点，，且，
所以
因为且，所以，
即
设，则
要证，即证，
只需证，即证
设，，
则在上单调递增，，
即
所以，即.
22.（1）（2）
解：（1）当时， ．
所以，即为，
所以，所以，
即所求不等式解集为．
（2）“关于不等式（）的解集为”等价于“对任意实数和， ”，
因为， ，
所以，即，又，所以．
