安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学（理）试卷

理科数学

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)              

1.集合的非空真子集的个数为（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

2.若（，，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（    ）

A.12 B. C.5 D.18

4.已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是（    ）

A. B.1011 C.1008 D.336

5.已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

6.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（    ）

A.12种 B.24种 C.36种 D.72种

7.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A.55 B.35 C.34 D.21

8.在直角坐标系中，，分别是双曲线：的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A. B.

C. D.

9.给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定是“，”；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则；④设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.（注：若，则，）其中正确说法的个数为(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

10.函数的大致图象是（  ）

A. B.

C. D.

11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A.  B.  C.  D.

12.已知函数，若在区间上有个零点，则（    ）

A.4042 B.4041 C.4040 D.4039

第II卷   非选择题（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题--第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

14.是展开式中的常数项为________.

15.若实数满足，且，则实数值为__________.

16.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)         

17. （本题12分）

的内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角；

（2）若，求面积的取值范围.

18. （本题12分）

随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.

（1）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量（百斤）与使用堆沤肥料（千克）之间对应数据如下表

依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注:，且)；

若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求的取值范围.

附：回归直线方程为，其中.

19. （本题12分）

在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：

（1）证明：平面平面

（2）求平面与平面所成二面角的大小.

20. （本题12分）

已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点，点满足.

（1）当的倾斜角为时，求直线的方程；

（2）试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. （本题12分）

已知函数

（I）若，求函数的极值和单调区间；

（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程：（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．

（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆上的点到直线的距离的最小值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）

已知函数，．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．

参考答案

1.C

【解析】画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，得到答案.

画出函数和的图象，根据图象知集合有3个元素，

故集合的非空真子集的个数为.

故选：.

2.D

【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求.

因为

∴，解得

∴复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.

故选：D.

3.D

【解析】本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.

由题意，向量，，，

则，即，

根据等比中项的知识，可得，

∵，故，

∴

故选：D.

4.A

【解析】根据奇偶性得到，计算知以6为周期循环，计算得到答案.

函数为奇函数，则，

即，周期为.

，，，，，.

解得，，，，，，，以6为周期循环.

故.故选：.

5.C

【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.

根据约束条件画出可行域，

图中阴影部分为可行域，

目标函数，

表示可行域中点与连线的斜率，

由图可知点与连线的斜率最大，

故的最大值为，故选：C.

6.C

【解析】先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.

不同分配方法总数为种.故选：C

7.D

【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.

模拟程序的运行过程：

第1次：；

第2次：；

第3次：；

第4次：；

第5次：；

第6次：；

退出循环故输出的结果为：。故选：D.

8.D

【解析】利用以及求得，根据的取值范围求得的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得双曲线的离心率的取值范围.

，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，.故选：D

9.C

【解析】①由，故“”是“”的充分不必要条件，①正确；

②命题“，”的否定是“，”， ②错误；

③由条件概率的计算公式得，③正确；

④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是

，④正确.。故选：C.

10.A

【解析】先判断函数的奇偶性,再求，进行排除，可得选项．

由题意得，所以函数是奇函数，排除C、D选项；当时，，因此排除B，故选A．

11.D

【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，

，又，分别为、中点，

，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．

解法二:

设，分别为中点，

，且，为边长为2的等边三角形，

又

中余弦定理，作于，，

为中点，，，

，，又，两两垂直，，，，故选D.

12.B

【解析】由题意，设，，由函数的奇偶性可得，由三角函数的性质可得，再由即可得解.

由题意，

设，，

则为方程的根即为函数与交点的横坐标，

当时，，且，所以函数为奇函数；

，所以函数为奇函数；

所以，所以，

函数的图象，如图，

函数的最小正周期，且，

所以在，，上，均有两个不等实根，

所以在上，共有个不等实根，

所以在上，共有个不等实根，

又，所以在上共有4041个不等实根即，

所以

.

故选：B.

13.

【解析】根据题意，设向量与向量的夹角为，因为向量，的夹角为，且，，求得和，根据，即可求得夹角为.

设向量与向量的夹角为，

向量，的夹角为，且，，

则

又

故答案为：．

14.

【解析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出的值，再求出其常数项。

，

由，得，

所以的常数项为.

15.

【解析】现结合指数与对数的互化公式，表示出，再结合换底公式表示出，最后结合对数运算即可求解

由可得，又，即

，求得。故答案为：

16.

【解析】根据奇函数性质求得，由横坐标的变化情况及的最小正周期可求得，进而得表达式，代入可求得，即可得的解析式；代入即可求得的值.

函数是奇函数，

所以，代入可得，

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．

则，的最小正周期为，

则 ，解得，

所以，

因为，代入可得，

解得，

所以，

则，故答案为：.

17.（1）；（2）.

【解析】（1）由及正弦定理得：，

所以，即，因为，

所以，又因为，所以.

（2）因为，由正弦定理得，，

因为，

所以，因为，所以，

所以，

即

.

因为，则，

所以，所以.

即面积的取值范围为.

18.（Ⅰ）,百斤；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）结合公式得

，

，

，，

所以关于的线性回归方程为：，

当时，百斤，

所以如果每个有机蔬菜大概使用肥料千克，

估计每个有机蔬菜大概产量的增加量是百斤．

（Ⅱ）若该超市一天购进份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为

的数学期望，

若该超市一天购进份这种有机蔬菜，表示当天的利润（单位：元），那么的分布列为：

的数学期望，

又购进份比购进份的利润的期望值大，故，求得，故求得的取值范围是，

19．【解析】（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.

（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.

（1）∵是的中点，∴.

设的中点为，连接.

设的中点为，连接，.

易证：，，

∴即为二面角的平面角.

∴，而为的中点.

易知，∴为等边三角形，∴.①

∵，，，∴平面.

而，∴平面，∴，即.②

由①②，，∴平面.

∵分别为的中点.

∴四边形为平行四边形.

∴，平面，又平面.

∴平面平面.

（2）如图，建立空间直角坐标系，设.

则，，，，

显然平面的法向量，

设平面的法向量为，，，

∴，∴.

，

由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.

∴平面与平面所成的二面角大小为45°.

20.（1）；（2）在轴上是否存在定点，，使得为定值．

【解析】（1）椭圆的右焦点为，

直线的方程为，

由，解得或，

不妨设，，，

点满足．点，，

则，所以直线的方程为．

（2）假设，设直线的方程为，，，，，

由，消可得，

，，

，，，

，

，

，

当且仅当，即时，为定值．

故在轴上是否存在定点，，使得为定值．

21.（I）时，的极小值为1；单调递增区间为，单调递减区间为；（II）．

【解析】（I）因为，

当，．

令，得．

又的定义域为，随的变化情况如下表：

所以时，的极小值为1．

的单调递增区间为，单调递减区间为．

（II）因为，且，

令，得到．

若在区间上存在一点，使得成立，

其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．

（1）当时，对成立，

所以，在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即

（2）当时，

①若，则对成立，

所以在区间上单调递减，

所以，在区间上的最小值为，

显然，在区间上的最小值小于0不成立

②若，即时，则有

所以在区间上的最小值为，

由，

得，解得，即舍去；

当，即，即有在递增，

可得取得最小值，且为1，，不成立．

综上，由（1）（2）可知符合题意．

22.（1）直线的普通方程为．圆的普通方程为；（2）．

【解析】（1）直线的参数方程消去参数得普通方程为：；

由得：，，

圆的普通方程为；

（2）在圆上任取一点，

则到直线的距离为

当时，，此时．

23.（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意知，，

若，则不等式化为，解得；

若，则不等式化为，解得，即不等式无解；

若，则不等式化为，解得，

综上所述，的取值范围是；

（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，

只需，

当时，，，

因为，所以当时，

，

即，解得，

结合，所以的取值范围是.