安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题

2020届模拟07

理科数学

测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合,，则的子集有                                                  （     ）

A．2个 B．4个 C．8个 D．16个

2．已知是虚数单位，则                          （     ）

A．0 B．1 C． D．

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，且双曲线的焦距为，则该双曲线方程为                                                    （     ）

A． B． C． D．

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为         （     ）

A． B． C． D．

5．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有                                    （     ）

A．6种 B．24种 C．36种 D．42种

6．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足成等比数列，则                                             （     ）

A． B． C． D．

7．要得到函数的图象，只需把的图象（     ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向上平移1个单位 D．向上平移2个单位

8．运行如图所示的程序，输出的结果为                           （     ）

A．12 B．10 C．9 D．8

9．已知某函数在上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（     ）

A． B． 

C． D．

10．若不等式组表示的平面区域为，当点在内(包括边界)时，的最大值和最小值之和为                   （     ）

A． B． C．38 D．26

11．如图，在四棱锥中，平面，且，异面直线与所成角为，点都在同一个球面上，则该球的半径为                          （     ）

A． B． C． D．

12．已知定义在上的偶函数满足：时，，且，若方程恰好有12个实数根，则实数的取值范围是                               （     ）

A．(5,6) B．(6,8) C．(7,8) D．(10,12)

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）

13．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若是定义在上且最小正周期为1的函数，当时，，则              .

14．已知点在圆上，点的坐标为，点为坐标原点，则的最大值为              .

15．已知，则的最大值为              .

16．过抛物线的焦点作直线与，若直线与抛物线交于，直线与抛物线交于，且的中点为，的中点为，则直线与轴的交点坐标为              .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（12分）在中，三内角的对边分别为，若，且的面积为.

（1）求的值；

（2）若，求a.

18．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，且，为中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

19．（12分）2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：

为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：

已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.

（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求?

（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求的分布列与期望值.

20．（12分）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形与四边形的面积之和为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，(其中为坐标原点)，当取得最小值时，求的面积.

21．（12分）已知函数(其中为常数).

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若在上的最大值为，求m的值.

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程

直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).

（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；

（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.

23．（10分）选修4—5不等式选讲

已知函数.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若对任意实数恒成立，求实数m的取值范围.

2020届模拟07理科数学答案与解析

1．【答案】C【解析】,，则，共有8个子集.

2．【答案】A【解析】.

3．【答案】C【解析】由双曲线的焦距为可得，由及双曲线定义可得，即，故，双曲线的方程为.

4．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的一半，其表面积为.

5．【答案】B【解析】根据条件可知，小赵所选前两个电视台都没有转播奥运比赛，有种情况，第三个电视台在转播奥运比赛，有种情况，故所有不同情况共有种.

6．【答案】C【解析】设的公差为，则，即，整理可得，而，所以，故.

7．【答案】B【解析】由于，故只需把的图象向右平移个单位即可得到的图象.

8．【答案】D【解析】运行程序，输出的结果为满足的最小正整数的值，由可得的最小值为8，故输出结果为8.

9．【答案】A【解析】选项C,D对应的函数都过原点，与图象不符，排除；而选项B中的函数是偶函数，关于y轴对称，与图象不符，故符合条件的只有A.

10．【答案】B【解析】当点在内时，有，即，画出不等式组表示的平面区域如图所示.

其中点，则在点处取得最小值－56，在点处取得最大值34，故最大值与最小值之和为.

11．【答案】C【解析】由条件可知，所以，为异面直线与所成角，故，而，故，在直角梯形中，易得，以为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径即为所求的球的半径，由，故.

12．【答案】B【解析】时，,，故在[0,1]上单调递增，且，由可知函数是周期为2的周期函数，而函数与都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，

根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在有6个不同交点，显然，结合图象可得，即，故.

13．【答案】【解析】由函数的最小正周期为1可得

.

14．【答案】【解析】设点的坐标为，则,

，设，则，故，故的最大值为.

15．【答案】8【解析】设,不妨设，

则，故，所以，

可设,，

则，

即的最大值为8.

16．【答案】【解析】由条件可知两条直线都过焦点，则直线，直线，由可得，设，则,，则点的坐标为，同理可得点的坐标为，则直线的方程为，令可得，即直线与轴的交点为.

17．【解析】

（1）由可得，

又,，即.（4分）

由的面积可得，故.（6分）

（2）由及可得，（10分）

由余弦定理可得：=28，

.（12分）

18．【解析】

（1）取的中点，连接，，为中点，，

又平面平面，平面,平面，（3分）

则,，

,，

,.（6分）

（2）如图，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴，的垂直平分线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.

则,，

,,.（8分）

设平面的法向量为，由可得，令可得.

同理可得平面的一个法向量为..

由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为135°.（12分）

19．【解析】

（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：

，（6分）

则人均消费月饼的数量为：

（克），

喜欢吃月饼的人数所占比例为：，

根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：

(克)=128.25(吨).（8分）

（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则的可能取值为0,1,2，

且，

则的分布列为

的期望值为：.（12分）

20．【解析】

（1）设椭圆的焦距为，则四边形与四边形的面积之和

为：，

由椭圆的离心率为可得，结合可得，（2分）

，解之得，则，

椭圆的方程为.（5分）

（2）由可得，

设点，则，

即,，（7分）

则，

由可得，即，

，即，

整理可得，代入可得，该不等式恒成立.

，

当时，取得最小值，此时，则，（10分）

原点到直线l的距离，

，

故的面积为.（12分）

21．【解析】

（1）由可得，

由在上单调递增可得在上恒成立，

即,，,，

故只需,，即实数m的取值范围是.（4分）

（2）,.

①当，即时，在上恒成立，故在上单调递增，

则在[1,2]上的最大值为，故，不满足；

②当，即时，在(1,2)上恒成立，故在(1,2)上单调递减，

则在[1,2]上的最大值为，故，不满足，舍去；（8分）

③当，即时，由可得.时，；

当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为，

，即，所以，.

,,，符合条件.

综上可知，.（12分）

22．【解析】

（1）曲线的极坐标方程对应的直角坐标方程为，

即，

由点在曲线的内部可得，解之得，

即实数m的取值范围是.（5分）

（2）直线l的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程并整理可得

，

设直线l与曲线的两个交点对应的极径分别为，则.

则直线l与曲线截得的弦长为，

即直线l与曲线截得的弦长的取值范围是.（10分）

23．【解析】

（1）由可得，故.

由可得.

①当时，不等式可变为，解之得,；

②当时，不等式可变为，即,；

③当时，不等式可变为，解之得,.

综上可知，原不等式的解集为.（5分）

（2）由绝对值不等式的性质可得，

当且仅当时等号成立，故的最小值为.

故只需，即，

故，即，即实数m的取值范围是.（10分）