北京市东城区2020届高三高考第一次模拟（4月份）数学试题
展开2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷
一、选择题（共10小题）.
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解集合，即可求．
【详解】解一元二次不等，可得，则 ，故选C．
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题．
2.已知复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数模长的性质即可求解.
【详解】复数，
，
故选：A.
【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3.抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：准线方程为：，与轴的交点为，故选B.
考点：抛物线的性质.
4.设函数，则（ ）
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据即可根据基本不等式得出，从而可得出，并且时取等号，从而得出有最大值，由对勾函数图象知在没有单调性，从而得出正确的选项.
【详解】，，当且仅当，即
时取等号，有最大值，又由对勾函数的图象可知在上不具
单调性.
故选：A.
【点睛】本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5.已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，
若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足，
即，，满足，即必要性成立，
即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.
6.一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A. 12 B. 36 C. 72 D. 720
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有种情况，
再对2个三口之家整体进行全排列，有种情况，
则有种不同的坐法.
故选：C.
【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.
7.已知圆C与直线及的相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆心在直线上，设出圆心坐标为，利用圆C与直线及都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.
【详解】圆心在上，设圆心为，
圆C与直线及都相切，
圆心到两直线及的距离相等，
即，
圆心坐标为，，
圆C的标准方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
8.已知正项等比数列中，，与的等差中项为9，则（ ）
A. 729 B. 332 C. 181 D. 96
【答案】D
【解析】
【分析】
正项等比数列的公比设为q，，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值.
【详解】设正项等比数列的公比为q，则，
由，可得，即，即，①
与的等差中项为9，可得，即，②
由①②可得，解得或（舍），
则.
故选：D.
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）
A. 10天 B. 15天 C. 19天 D. 2天
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可.
【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，
根据题意，令，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题.
10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.
【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
则有：
，
即，
即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，
即三天都开车上班的职工人数至多是6.
【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题共5题，每题5分，共25分.
11.设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】
因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
12.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得的值，可得的值.
【详解】角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，
将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，
，，
所以，.
故答案为：1.
【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.
13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.
【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝
故答案为
【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．
【答案】或
【解析】
【分析】
分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.
【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；
设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；
故答案为：或
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.
15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.
给出下列四种说法:
①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)图象进行分析即可得出答案.
【详解】解:由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为,
,即为票价,
当时,,则为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.
三、解答题
16.如图1，在中， ， 分别为， 的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）求证：；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可证；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线和平面所成角的正弦值.
【详解】（1）连接.图1中，，， 分别为， 的中点，，
即，又为的中点，.
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，
.
（2）取中点，连接，则.
由（1）可知平面，平面.
以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示
，，.
，
.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，.
设直线和平面所成的角为，则
，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
17.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积.
【答案】答案不唯一,具体见解析
【解析】
【分析】
（1）选①,先用余弦定理求出角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.
（2）选②,先用正弦定理的推论将边化角,整理得角,根据三角形内角和为可算出角,再由正弦定理求出边,最后用三角形的面积公式求面积即可.
【详解】解：（1）若选择①,
由余弦定理,
因为,所以;
由正弦定理,
得,
因为,,
所以,
所以,
所以.
（2）若选择②,
则,
因为,所以,
因为,所以;
由正弦定理,
得,
因为,,
所以,
所以,
所以.
（3）若选择③,
则,所以,
因为,所以,
所以,所以;
由正弦定理,
得,
因为,,
所以,
所以,
所以.
【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.
18.为了解甲、乙两个快递公司工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【答案】（1）平均数为，众数为33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入元，乙公司被抽取员工该月收入元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数.
（2）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.
（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【详解】（1）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：
，
众数为33.
（2）设a为乙公司员工B投递件数，则
当时，元，
当时，元，
X的可能取值为136，147，154，189，203，
，，
，，
，
X的分布列为：
X | 136 | 147 | 154 | 189 | 203 |
P |
（元）.
（3）根据图中数据，由（2）可估算：
甲公司被抽取员工该月收入元，
乙公司被抽取员工该月收入元.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
19.已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.
【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：
（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.
试题解析：
（1）由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，
即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.
（2）由可得
当时， ，所以函数的增区间为；
当时，若， ，若， ，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（3）由及题设得，
由可得，由（2）可知函数在上递增，
所以，取，显然，
，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1<a<0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
20.已知椭圆的右焦点为F.
（1）求点F的坐标和椭圆C的离心率；
（2）直线过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为，判断直线是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.
【答案】（1）焦点，离心率（2）是过x轴上的定点；定点
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的标准方程即可得出；
（2）直线过点F，可得，代入椭圆的标准方程可得：.（依题意）.设，，可得根与系数的关系，点P关于x轴的对称点为，则.可得直线的方程可以为，令，，把根与系数的关系代入化简即可得出.
【详解】（1）椭圆，
，解得，
焦点，离心率.
（2）直线过点F，
，.
由，得.（依题意）.
设，，
则，.
点P关于x轴的对称点为，则.
直线的方程可以设为，
令，
.
直线过x轴上定点.
【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的离心率、椭圆中的定点问题，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
21.各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：
① ；② ；③是的因数（）．
（1）当时，写出数列的前五项；
（2）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；
（3）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．
【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）的值为.（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得 而2是的因数，所以 ，依次求出后三项，（2）由前三项互不相等，可分类讨论：这四种情况即可，（3）令，则为正整数，易得为单调递减数列（可相等），当首项确定时，当时，必有成立.而当成立时，可得常数.
【详解】解：（1）5，1，0，2，2.
（2）因为，所以，
又数列的前3项互不相等，
当时，
若，则，
且对，都为整数，所以；
若，则，
且对，都为整数，所以；
当时，
若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；
若，则，
且对，都为整数，所以；
综上，的值为.
（3）对于，令，
则.
又对每一个，都为正整数，所以 ，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.
当时，则.
从而.
由题设知，又及均为整数，
所以 ，故常数.
从而常数.
故存在正整数，使得时，为常数.
