北京市房山区2020届高三第一次模拟检测数学试题
展开房山区2020年第一次模拟检测
高三数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（2）函数的最小正周期为
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（3）已知向量，，若与共线，则
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（4）在二项式的展开式中，的系数为
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（5）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知函数若，且在上单调递增，则的取值范围是
（A） | （B） |
（C） | （D） |
（8）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的
（A）充分而不必要条件 | （B）必要而不充分条件 |
（C）充分必要条件 | （D）既不充分也不必要条件 |
（9）已知直线：与圆：交于，两点，则使弦长为整数的直线共有
（A）条 | （B）条 |
（C）条 | （D）条 |
（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图反映了
年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率贫困人数（人）统计人数（人））．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是
（A）年，全国农村贫困人口逐年递减
（B）年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是年
（C）年，全国农村贫困人口数累计减少万
（D）年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知集合，，，则___________．
（12）设抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为___________．
（13）已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 ．
（14）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是 ．
（15）如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：
①函数在上单调递减；
②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为；
③函数的值域为；
④函数有且只有一个零点．
其中正确结论的序号是 ．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
在△中，，， ．（补充条件）
（Ⅰ）求△的面积；
（Ⅱ）求．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（17）（本小题14分）
随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了名用户，调研结果如下表：（单位：人）
| 青年人 | 中年人 | 老年人 |
满意 | |||
一般 | |||
不满意 |
（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取人，估计此人“不满意”的概率；
（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；
（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取人，这种抽样是否合理？说明理由．
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
（19）（本小题14分）
已知椭圆过，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率的大小；
（Ⅱ）设，是轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，判断直线与轴的位置关系，并证明你的结论．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若，设函数，在上的最大值不小于，求的取值范围．
（21）（本小题14分）
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”．如数列，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，．设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存
在，说明理由．
房山区2020年第一次模拟检测答案
高三数学
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | C | B | D | A | A | B | D | C | D |
二、填空题（每小题5分，共25分，有两空的第一空3分，第二空2分）
（11）
（12）
（13）；
（14）
（15）②④（注：只写②或④得3分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题14分）
解：
选择①
（Ⅰ）在△中，因为，，，
由余弦定理得，
因为，所以
所以．
（Ⅱ）在△中，．
所以．
选择②
（Ⅰ）因为，，所以
因为，，所以
（Ⅱ）因为，，，
由，得，
解得，
由，解得，
在△中，，
选择③
依题意，为锐角，由得
在△中，因为，，，
由余弦定理，得
解得或
（Ⅰ）当时，．
当时，．
（Ⅱ）由，，，，得
在中，，
（17）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）从所有参与调研的人共有人，不满意的人数是
记事件为“从所有参与调研的人中随机选取人此人不满意”，则所求概率为
.
（Ⅱ）记事件为“从参与调研的青年人中随机选取人，此人满意”，则;
记事件为“从参与调研的中年人中随机选取人，此人满意”，则；
则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取人，恰有人满意”的概率为
（Ⅲ）这种抽样不合理。
理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为，满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取人不合理。合理的抽样方法是采用分层抽样，根据，，的具体数值来确定抽样数值。
（18）（本小题14分）
证明：
（Ⅰ）取中点，连接，，因为为中点，为中点，
所以，且
又因为，且
所以，且
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面平面
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，平面
所以
又因为
所以，
又，平面
所以.
（Ⅲ）因为平面，平面
所以，又，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
所以
已知平面的一个法向量；
设平面的法向量，则
即令，则；
所以平面的一个法向量为
所以
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（19）（本小题14分）
解：（Ⅰ）依题意得， 所以椭圆的方程为
，离心率的大小
（Ⅱ）因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，
设，坐标为，，则，
由，得直线的方程为
整理得 或
得交点的纵坐标为
同理交点的纵坐标为
所以，直线与轴平行
解法二：
设直线的方程为，直线的方程为
令得，坐标为，同理坐标为
因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以
整理得或
得交点的纵坐标为
同理得
所以，直线与轴平行.
解法三：
设直线的方程为，直线的方程为
令得坐标为，同理坐标为
因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以
代入椭圆方程得
或
所以
得交点的纵坐标为
同理得
所以，直线与轴平行.
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）
由，，得
曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）定义域为R，
令，解得
若，，在上单调递增；
若，在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；
若，上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；
（Ⅲ）若，函数的单调减区间为，单调递增区间为.
当时，即，由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递减，
则
当时，即，在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值
则，
若，则，即
综上，实数的取值范围为
（21）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因原数列有项，经第次拓展后的项数；
经第次拓展后的项数.
（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，
所以
所以，
由（Ⅰ）知，
所以，
由，即，解得
所以的最小值为10．
（Ⅲ）设第次拓展后数列的各项为
所以
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
即
所以，
得
由，则
若使为等比数列，则或
所以，，，满足的条件为或者．
